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高三期末自主练习
数学（文）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、设全集，集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
2、若，则（ ）
A． B． C． D．
3、下列四个函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（ ）
A． B． C． D．
4、设平面对量，若，则等于（ ）
A．4 B．5 C． D．
5、在中，若，则( )
A． B． C． D．
6、函数零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
7、已知直线平面，直线平面，则下列四个结论：
①若，则 ②若，则
③若，则 ④若，则
其中正确的结论的序号是：（ ）
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
8、函数的大致外形是（ ）
9、设变量满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A． B．9
C． D．27
11、若双曲线的渐近线与抛物线相切，则此双曲线的离心率等于（ ）
A．2 B．3 C． D．9
12、已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上。
13、函数的定义域为
14、若直线与轴相交于点，与轴相交于点，且以坐标原点为圆心以为半径的圆与直线相切，则面积为
15、设等差数列的前n项和，则整数数的值为
16、给出以下四个结论：
①函数的对称中心是；
②若不等式对任意都成立，则；
③已知点与点在直线两侧，则；
④若将函数的图象向右平移个单位变为偶函数，则的最小值为
其中正确的结论是：
三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，角的始边为轴非负半轴，点在角的终边上，点在角的终边上，且.
（1）求；
（2）求的坐标并求的值。
18、（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，
平面，.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面。
19、（本小题满分12分）
已知数列的前n项和为。
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设数列为等差数列。
20、（本小题满分12分）
近日，国家经贸委发出了关于深化开展增产节省运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业产品和42种滞销产品的参考名目，为此，一公司进行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量万件（生产量与销售量相等）与促销费用万元满足（其中为整除），已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用）产品的销售价格定为元/件。
（1）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；
（2）促销费用投入多少元时，厂家的利润最大。
21、（本小题满分13分）
已知是二次函数，不等式的解集是，且在点处的切线与直线平行。
（1）求的解析式；
（2）是否存在，使得方程在区间内有两个不等的实数根？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
22、（本小题满分13分）
已知椭圆的左右焦点分别为，且，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点。
（1）求椭圆方程；
（2）设椭圆与直线相较于不同的两点，又点，当时，
求实数的取值范围。
高三文科参考答案与评分标准
一、选择题(每小题5分)
D A D D C B C D D B B C
二、填空题（每小题4分）
13. 14. 15. 16.③④
三、解答题
17. 解：（1）∵ ， ∴ ……………2分
∴ ，
∴ . ……………5分
（2）由（1）得：， ∴
， ∴ ……………7分
∴ ，， ……………9分
∴ ，，
，， ……………11分
……………12分
18. 解 ：(1)证明： ∵AB∥DC，且AB平面PCD，
CD⊂平面PCD.
∴AB∥平面PCD. ……………5分
(2)证明：在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形
∴AE＝DC＝1，又AB＝2，∴BE＝1，在Rt△BEC中，∠ABC＝45°，
∴CE＝BE＝1，CB＝，∴AD＝CE＝1，则AC＝＝，
∴AC2＋BC2＝AB2，∴BC⊥AC， …………………9分
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC ………………12分
19. （1）由题意可得：，
∴ …………3分
即：，
所以数列为等差数列； …………6分
（2）由（1）得：，
， ………9分
， …………12分
20. 解：（1）由题意知， ，
将代入化简得：
，（）， ……………………6分
（2），
当且仅当时，上式取等号. ……………………9分
当时, 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;
当时, 在上单调递增,所以在时,函数有最大值．促销费用投入万元时，厂家的利润最大 .
综上述,当时, 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;
当时,促销费用投入万元时，厂家的利润最大 . ……………………12分
21. 解:（1）∵是二次函数，不等式的解集是，
∴可设，.
∴. …………… 2分
∵函数在点处的切线与直线平行，
∴.
∴，解得.
∴. …………… 5分
（2）解：由（1）知，方程等价于方程… 6分
设，
则. …………… 7分
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增. … 9分
∵，
∴方程在区间，内分别有唯一实数根，在区间
内没有实数根. …………… 12分
∴存在唯一的自然数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根. …………… 13分
22. 解:（1）由已知，可得，，
∵，∴，，
∴. ……………………………………………………4分
（2）当时，直线和椭圆有两交点只需； ………………5分
当时，设弦的中点为分别为点的横坐标，由，得,
由于直线与椭圆有两个不同的交点，所以
，即 ① ……………………7分
……………………9分
又 ②，…10分
将②代入①得，解得， 由②得 ，
故所求的取值范围是. ……………………12分
………………………………………13分
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