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直线与抛物线的综合问题
[典例] (2022·新课标全国卷)设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．
(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆 F的方程；
(2)若A，B，F三点在同始终线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．
[审题视角] (1)利用抛物线的定义和几何性质表示出△ABD的面积，进而求得P的值和圆F的方程；
(2)利用A，B，F三点共线和抛物线的定义得出直线m，n的斜率，再求得两直线的截距之比即为原点到m，n距离的比值．
[解析] (1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝p.
由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝p.
由于△ABD的面积为4，
所以|BD|·d＝4，
即·2p·p＝4，
解得p＝－2(舍去)或p＝2.
所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.
(2)由于A，B，F三点在同始终线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.
由抛物线定义知，|AD|＝|FA|＝|AB|，
所以∠ABD＝30°，m的斜率为或－.
当m的斜率为时，由已知可设n：y＝x＋b，代入x2＝2py得
x2－px－2pb＝0.
由于n与C只有一个公共点，故Δ＝p2＋8pb＝0.解得b＝－.
由于m的截距b1＝，＝3，
所以坐标原点到m，n距离的比值为3.
当m的斜率为－时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值也为3.
综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.
解决抛物线综合问题时要重视定义在解题中的应用，机敏处理点点距和点线距之间的相互转化，并留意数形结合思想方法的应用．处理直线与抛物线的交点问题，可联立直线与抛物线的方程，消元化成一元二次方程，留意“设而不求”方法的运用．
1．(2021·广东理，20)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c＞0)到直线l：x－y－2＝0的距离为.设P为直线l上的点，过点P做抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．
解：(1)依题意，设抛物线C的方程为x2＝4cy，由＝结合c>0，解得c＝1.
所以抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)抛物线C的方程为x2＝4y，即y＝x2，求导得y′＝x
设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中y1＝，y2＝)，则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，
所以切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝x－＋y1，即x1x－2y－2y1＝0
同理可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0
由于切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0
所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x－2y0－2y＝0的两组解．
所以直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0.
(3)由抛物线定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，
所以|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1
联立方程消去x整理得y2＋(2y0－x)y＋y＝0
由一元二次方程根与系数的关系可得y1＋y2＝x－2y0，y1y2＝y
所以|AF|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝y＋x－2y0＋1
又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝y0＋2，
所以y＋x－2y0＋1＝2y＋2y0＋5＝2(y0＋)2＋
所以当y0＝－时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为.
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