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1．(2022·西安质量检测)在等比数列{an}中，已知a3＝8，a6＝64.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
解 (1)设{an}的首项为a1，公比为q，
由已知得8＝a1q2，64＝a1q5，解得q＝2，a1＝2，
所以an＝2n.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.
设{bn}的公差为d，则有解得
从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，
所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝6n2－22n.
2．(2021·南昌模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)依题意得
解得
∴an＝2n＋1.
(2)∵＝3n－1，∴bn＝an·3n－1＝(2n＋1)·3n－1，
∴Tn＝3＋5×3＋7×32＋…＋(2n＋1)×3n－1，
3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)×3n－1＋(2n＋1)×3n，两式相减得，
－2Tn＝3＋2×3＋2×32＋…＋2×3n－1－(2n＋1)×3n
＝3＋2×－(2n＋1)×3n＝－2n×3n，
∴Tn＝n×3n.
3．已知函数f(x)＝，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f ，n∈N＋，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1，求Tn.
解 (1)∵an＋1＝f ＝＝＝an＋，
∴{an}是以为公差的等差数列．又a1＝1，∴an＝n＋.
(2)Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1
＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)
＝－(a2＋a4＋…＋a2n)＝－·
＝－(2n2＋3n)．
4．设数列{a2n－1}是首项为1的等差数列，数列{a2n}是首项为2的等比数列，数列{an}的前n项和为Sn(n∈N＋)，已知S3＝a4，a3＋a5＝a4＋2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)比较S2n与2n＋n2的大小，并说明理由．
解 (1)设等差数列{a2n－1}的公差为d，等比数列{a2n}的公比为q，
则a1＝1，a2＝2，a3＝1＋d，a4＝2q，a5＝1＋2d，
所以4＋d＝2q，(1＋d)＋(1＋2d)＝2＋2q，
解得d＝2，q＝3.
所以an＝(k∈N＋)．
(2)当n＝1时，S2n＝S2＝a1＋a2＝3，2n＋n2＝21＋11＝3，
所以S2n＝2n＋n2；
当n≥2时，S2n＝＋＝n2－1＋3n
＝n2－1＋(1＋2)n＞n2－1＋2n＋1＝n2＋2n.
综上所述，当n＝1时，S2n＝2n＋n2；
当n≥2时，S2n＞2n＋n2.
5．已知等比数列{an}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an＋log2，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2n＋1＋47<0成立的n的最小值．
解 (1)设等比数列{an}的公比为q，依题意，有
即
由①得q2－3q＋2＝0，解得q＝1或q＝2.
当q＝1时，不合题意，舍去；
当q＝2时，代入②得a1＝2，
所以an＝2·2n－1＝2n.
故所求数列{an}的通项公式an＝2n(n∈N*)．
(2)bn＝an＋log2＝2n＋log2＝2n－n.
所以Sn＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n－n
＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)
＝－＝2n＋1－2－n－n2.
由于Sn－2n＋1＋47<0，
所以2n＋1－2－n－n2－2n＋1＋47<0，
即n2＋n－90>0，解得n>9或n<－10.
由于n∈N*，故使Sn－2n＋1＋47<0成立的正整数n的最小值为10.
6．(2021·上饶六校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝2，S5＝15，数列{bn}满足b1＝，bn＋1＝bn.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)记Tn为数列{bn}的前n项和，f(n)＝，试问f(n)是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
解 (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
解得a1＝1，d＝1，∴an＝n，
由题意知＝，∴数列是以＝为首项，为公比的等比数列，
∴＝，∴bn＝.
(2)由(1)得Tn＝＋＋＋…＋，
Tn＝＋＋＋…＋，
所以Tn＝2－，又Sn＝，
所以f(n)＝＝，
f(n＋1)－f(n)＝－＝，
当n≥3时，f(n＋1)－f(n)＜0，
当n＜3时，f(n＋1)－f(n)≥0，
又f(1)＝1，f(2)＝，f(3)＝，
∴f(n)存在最大值为.
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