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宁夏银川九中高三班级期中试卷
理科数学 命题人：辛立飞
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第II卷第22—24题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．
留意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
3．请依据题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．
5．作选考题时，考生依据题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数的定义域是 （ ）
A．[1，2] B． C． D．
2. 已知命题p：“x∈R，x2＋1>0”；命题q：“x∈R，ex＝”则下列推断正确的是 ( )
A. p∨q为真命题， p为真命题 B. p∨q为真命题，p为假命题
C. p∧q为真命题， p为真命题 D. p∧q为真命题，p为假命题
M
N
U
3.设全集U是实数集R，M={x|x2＞4}，N={x|1＜x＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A.{x|-2≤x＜1} B. {x|-2≤x≤2}
C.{x|1＜x≤2} D.{x|x＜2}
4．函数的最小值为，则等于 （ ）
A．2 B． C．6 D．7
5．已知则“”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知函数是奇函数，当时， , 且，则的值为（ ）
A. B. 3 C. 9 D.
7．函数上的零点个数为 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下面是函数f(x)在区间[1，2]上的一些点的函数值
x
1
1.25
1.375
1.4065
1.438
1.5
1.61
1.875
2
f(x)
-2
-0.984
0.260
-0.052
0.165
0.625
-0.315
4.35
6
由此可推断：方程f(x)=0在[1，2]解的个数（ ）
A.至少5个 B.5个 C.至多5个 D.4个
9.△ABC中，a,b,c分别是内角A，B，C所对的边，且cos 2B+3cos(A+C)+2=0,b=,则
c∶sin C等于 （ ）
A.3∶1 B.∶1 C.∶1 D.2∶1
10、下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上全部的点( )
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
11．当时，，则的取值范围是（ ）
A. (0，) B. (，1) C. (1，) D. (，2)
12. 锐角△ABC中，B=2A，则的取值范围是 （ ）
A.(-2,2) B.(0,2） C.(,2) D.(,)
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必需做答，第22—24题为选考题，考生依据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．设函数，若曲线上在点处的切线斜率为，则 .
14．若命题“存在实数，使”的否定是假命题，则实数的取值范围为 。
15．设曲线与轴、轴、直线围成的面积为，若在上单调递减，则实数的取值范围是 。
16．有以下四个命题：
①中，“”是“”的充要条件；
②若命题，则；
③不等式在上恒成立；
④设有四个函数其中在上是增函数的函数有3个.
其中真命题的序号 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分12分）
已知向量a=(cos α,sin α), 向量b=（cos β,sin β),|a-b|=.
(1)求cos(α-β）的值；
（2）若<β<0<α<,且sin β=,求sin α的值.
18. （本小题满分12分）
已知函数f(x)=cos4x-2sin xcos x-sin4x.
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）若x∈,求f(x)的最大值及最小值.
（3）若函数g(x)=f(-x),求g(x)的单调增区间；
19、（本小题满分12分）
银川市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域可近似为半径是R的圆面．该圆的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB＝AD＝4万米，BC＝6万米，CD＝2万米．
(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；
(2)因地理条件的限制，边界AD、CD不能变更，而边界AB、BC可以调整．为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在上设计一点P，使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求出其最大值．
20．（本小题满分12分）
设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(x))处与直线y＝8相切，求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．
21．（本小题满分12分）
设函数。
（1）当方程只有一个实数解时，求实数的取值范围；
（2）当时，求过点作曲线的切线的方程；
（3）若＞0且当时，恒有，求实数的取值范围。
22．请考生在三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，且与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点，
(1)证明A、P、O、M四点共圆；
(2)求∠OAM＋∠APM的大小
23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中， C2的极坐标方程为.
(1)求曲线C1的极坐标方程及C2的直角坐标方程；
(2)点P为C1上任意一点，求P到C2距离的取值范围
24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x＋1|，
(1)解不等式f(x)≥2x＋1；
(2)x∈R，使不等式f(x－2)－f(x＋6)＜m成立，求m的取值范围。
宁夏银川九中高三（理）科其次次月考数学答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
C
B
A
A
B
A
D
A
B
D
二、填空题：
13.. 14、 15． 16.①③④；
三、解答题：
17、【解】（1）由于|a-b|=，
所以a2-2a·b+b2=45.
又a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),
所以a2=b2=1,a·b=cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β).
所以cos(α-β).
(2)由于<β<0<α<,
所以0<α-β<π,由（1）得cos(α-β)= ,所以sin(α-β)= .
又sin β=,所以cos β=.
所以sin α=sin［(α-β)+β］=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β
=×+×.
18、【解】（1）由题知
f(x)=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin 2x=cos 2x-sin 2x=
所以f(x)的最小正周期T.
(2)由于x∈,所以2x-∈,
所以f(x)∈［-,1］.
所以当x=0时，f(x)的最大值为1；当x=时，f(x)的最小值为-.
（3）由2kπ-≤≤2kπ+，解得kπ-≤x≤kπ+，
函数f(x)的单调减区间为[kπ-，kπ+] (k∈Z).
由2kπ+≤≤2kπ+,解得kπ+≤x≤kπ+,
函数f(x)的单调增区间为[kπ+, kπ+] (k∈Z).
留意：其它的解题方案导致其它的解题结果。
19、[解析] (1)由于四边形ABCD内接于圆，所以∠ABC＋∠ADC＝180°，连接AC，由余弦定理：
AC2＝42＋62－2×4×6cos∠ABC
＝42＋22－2×2×4cos∠ADC.
∴cos∠ABC＝.∵∠ABC∈(0，π)，∴∠ABC＝60°.
则S四边形ABCD＝×4×6×sin60°＋×2×4×sin120°＝8(万平方米)．
在△ABC中，由余弦定理：
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠BAC
＝16＋36－2×4×6×＝28，故AC＝2.
由正弦定理得，
2R＝＝＝，∴R＝(万米)．
(2)S四边形APCD＝S△ADC＋S△APC，
S△ADC＝AD·CD·sin120°＝2.
设AP＝x，CP＝y，
则S△APC＝xy·sin60°＝xy.
又由余弦定理：AC2＝x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝28.
∴x2＋y2－xy≥2xy－xy＝xy.
∴xy≤28，当且仅当x＝y时取等号．
∴S四边形APCD＝2＋xy≤2＋×28＝9，即当x＝y时面积最大，其最大面积为9万平方米．
20、[解析] (1)f ′(x)＝3x2－3a.
由于曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，
所以即
解得a＝4，b＝24.
(2)f ′(x)＝3(x2－a)(a≠0)．
当a<0时，f ′(x)>0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；此时函数f(x)没有极值点．
当a>0时，由f ′(x)＝0得x＝±.
当x∈(－∞，－)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(－，)时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x∈(，＋∞)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增．
故x＝－是f(x)的极大值点，x＝是f(x)的微小值点．
21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）.
方程只有一个实数解，没有实数解.
，解得.所以，当方程只有一个实数解时，实数的取值范围是.……3分
（Ⅱ）当时，，，设切点为，
切线方程设为，即.
将原点代入，得，
解得.
因此过作曲线的切线的方程为.…6分
（Ⅲ）由.
由于.
所以在和内单调递减，在内单调递增.--8分
（1）当，即时，在区间上是增函数，.
无解. ………………………………10分
（2）当，即时，在区间上是增函数，在上是减函数，
=.
解得.
综上，的取值范围为. ………………12分
22、(1)证明：连结OP，OM，
∵AP与⊙O相切于点P，∴OP⊥AP，∵M是⊙O的弦BC的中点，∴OM⊥BC，
∴∠OPA＋∠OMA＝180°，∵圆心O在∠PAC的内部，∴四边形APOM的对角互补，
∴A、P、O、M四点共圆…………………………………………………………5分
(2)解：由(1)得A、P、O、M四点共圆，∴∠OAM＝∠OPM，
由(1)得OP⊥AP，∵圆心O在∠PAC的内部，∴∠OPM＋∠APM＝90°，
∴∠OAM＋∠APM＝90°……………………………………………………………10分
23、解：(1)∵C1的直角坐标方程为，∴C1的极坐标方程为，
∵，∴，
∴C2的直角坐标方程为……5分
(2)∵曲线C1的参数方程为（为参数），∴设P(，)
∴点P到直线C2的距离为d＝，
∴点P到直线C2的距离的取值范围为，……………………10分
24、解：(1)当x＋1≥0即x≥－1时，x＋1≥2x＋1，∴－1≤x≤0，
当x＋1＜0即x＜－1时，－x－1≥2x＋1，∴x＜－1，
∴不等式的解集为{x|x≤0}…………………………………………5分
(2)∵f(x－2)＝|x－1|，f(x＋6)＝|x＋7|，∴|x－1|－|x＋7|＜m，
∵x∈R，使不等式|x－1|－|x＋7|＜m成立，∴m大于|x－1|－|x＋7|的最小值
∴m＞－8…………………………10分
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