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第3讲 变量间的相关关系、统计案例
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2021·湖北七市(州)联考)为争辩语文成果和英语成果之间是否具有线性相关关系，统计两科成果得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线＝bx＋a近似地刻画其相关关系，依据图形，以下结论最有可能成立的是 ( )
A．线性相关关系较强，b的值为3.25
B．线性相关关系较强，b的值为0.83
C．线性相关关系较强，b的值为－0.87
D．线性相关关系太弱，无争辩价值
解析 依题意，留意到题中的相关的点均集中在某条直线的四周，且该直线的斜率小于1，结合各选项知，故选B.
答案 B
2.设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是 ( )
A．直线l过点(，)
B．x和y的相关系数为直线l的斜率
C．x和y的相关系数在0到1之间
D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数肯定相同
解析 由样本的中心(，)落在回归直线上可知A正确；x和y的相关系数表示为x与y之间的线性相关程度，不表示直线l的斜率，故B错；x和y的相关系数应在－1到0之间，故C错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并不确定平均，无论样本点个数是奇数还是偶数，故D错．
答案 A
3．(2022·石家庄模拟)登山族为了了解某山高y(km)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对比表：
气温(℃)
18
13
10
－1
山高(km)
24
34
38
64
由表中数据，得到线性回归方程＝－2x＋(∈R)．由此请估量山高为72 km处气温的度数为 ( )
A．－10 B.－8
C．－4 D.－6
解析 由表中数据可得＝＝10，＝＝40，所以中心点(10,40)在线性回归直线＝－2x＋上，所以40＝－20＋，解得＝60，所以线性回归方程为＝－2x＋60，当y＝72时，x＝－6，故选D.
答案 D
4．(2021·郑州质量猜测)通过随机询问110名性别不同的同学是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
附表：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
若由K2＝算得
K2＝≈7.8.
参照附表，得到的正确结论是 ( )
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
解析 依题意，由于P(7.8≥6.635)＝0.010，因此有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选A.
答案 A
5．(2022·西宁复习检测)下列说法：
①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；
②设有一个线性回归方程＝3－5x，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位；
③设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强；
④在一个2×2列联表中，由计算得K2的值，则K2的值越大，推断两个变量间有关联的把握就越大．
其中错误的个数是 ( )
A．0 B.1
C．2 D.3
解析 方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故①正确；在回归方程＝3－5x中，变量x增加1个单位时，y平均减小5个单位，故②不正确；依据线性回归分析中相关系数的定义：在线性回归分析中，相关系数为r，|r|越接近于1，相关程度越强，故③不正确；对分类变量x与y的随机变量的观测值K2来说，K2越大，“x与y有关系”的可信程度越大，故④正确．综上所述，错误结论的个数为2，故选C.
答案 C
二、填空题
6．已知回归方程＝4.4x＋838.19，则可估量x与y的增长速度之比约为________．
解析 x每增长1个单位，y增长4.4个单位，故增长的速度之比约为1∶4.4＝5∶22.
事实上所求的比值为回归直线方程斜率的倒数．
答案 5∶22
7．(2021·嘉兴联考)为了推断高中三班级同学是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名同学，得到如下2×2列联表：
理科
文科
男
13
10
女
7
20
已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.
依据表中数据，得到K2＝≈4.844.
则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________．
解析 ∵K2≈4.844，依据假设检验的基本原理，应当断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种推断出错的可能性约为5%.
答案 5%
8．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法猜测他孙子的身高为________ cm.
解析 儿子和父亲的身高可列表如下：
父亲身高
173
170
176
儿子身高
170
176
182
设线性回归方程为＝＋x，由表中的三组数据可求得＝1，且过中心点(173,176)，故＝－＝176－173＝3，故线性回归方程为＝3＋x，将x＝182代入得孙子的身高为185 cm.
答案 185
三、解答题
9．假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的修理费用y(万元)有如下表的统计资料：
使用年限x(年)
2
3
4
5
6
修理费用y(万元)
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求：
(1)线性回归直线方程；
(2)依据回归直线方程，估量使用年限为12年时，修理费用是多少？
解 (1)列表
i
1
2
3
4
5
合计
xi
2
3
4
5
6
20
yi
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
25
xiyi
4.4
11.4
22.0
32.5
42.0
112.3
x
4
9
16
25
36
90
＝4，＝5；＝90；iyi＝112.3
＝＝＝1.23，
于是＝－＝5－1.23×4＝0.08.
所以线性回归直线方程为＝1.23x＋0.08.
(2)当x＝12时，＝1.23×12＋0.08＝14.84(万元)，
即估量使用12年时，修理费用是14.84万元．
10．(2021·深圳调研)某企业通过调查问卷(满分50分)的形式对本企业900名员工的工作满足度进行调查，并随机抽取了其中30名员工(16名女员工，14名男员工)的得分，如下表：
女
47
36
32
48
34
44
43
47
46
41
43
42
50
43
35
49
男
37
35
34
43
46
36
38
40
39
32
48
33
40
34
(1)依据以上数据，估量该企业得分大于45分的员工人数；
(2)现用计算器求得这30名员工的平均得分为40.5分，若规定大于平均得分为“满足”，否则为“不满足”，请完成下列表格：
“满足”的人数
“不满足”的人数
合计
女
16
男
14
合计
30
(3)依据上述表中数据，利用独立性检验的方法推断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满足”有关？
参考数据：
P(K2≥k0)
0.10
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
解 (1)从表中可知，30名员工中有8名得分大于45分，
所以任选一名员工，他(她)的得分大于45分的概率是＝，
所以估量此次调查中，该单位约有900×＝240名员工的得分大于45分．
(2)完成下列表格：
“满足”的人数
“不满足”的人数
合计
女
12
4
16
男
3
11
14
合计
15
15
30
(3)假设H0：性别与工作是否满足无关，
依据表中数据，求得K2的观测值
k＝≈8.571＞6.635，
查表得P(K2≥6.635)＝0.010.
∴能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为性别与工作是否满足有关．
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
11．已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设依据上表数据所得线性回归直线方程＝x＋，若某同学依据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是 ( )
A.>b′，>a′ B.>b′，<a′
C.<b′，>a′ D.<b′，<a′
解析 由题意可知，b′＝2，a′＝－2，＝＝.
＝－＝－×＝－，
∴<b′，>a′，选C.
答案 C
12．有甲、乙两个班级进行数学考试，依据大于等于85分为优秀，85分以下非优秀统计成果，得到如下所示的列联表：
优秀
非优秀
总计
甲班
10
b
乙班
c
30
合计
已知在全部105人中随机抽取1人，成果优秀的概率为，则下列说法正确的是 ( )
A．列联表中c的值为30，b的值为35
B．列联表中c的值为15，b的值为50
C．依据列联表中的数据，若按97.5%的牢靠性要求，能认为“成果与班级有关系”
D．依据列联表中的数据，若按97.5%的牢靠性要求，不能认为“成果与班级有关系”
解析 由题意知，成果优秀的同学数是30，成果非优秀的同学数是75，所以c＝20，b＝45，选项A，B错误．
依据列联表中的数据，得到
K2＝≈6.6>5.024，
因此有97.5%的把握认为“成果与班级有关系”．
答案 C
13．某医疗争辩所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2的观测值k≈3.918，经查对临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学得出了以下的推断：
p：在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；
q：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；
r：这种血清预防感冒的有效率为95%；
s：这种血清预防感冒的有效率为5%.
则下列结论中，真命题的序号是________．
①p∧綈q；②綈p∧q；③(綈p∧綈q)∧(r∨s)；
④(p∨綈r)∧(綈q∨s)．
解析 ∵k≈3.918＞3.841，∴在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防感冒的作用”，即命题p正确，命题q，r，s均不正确．对①②③④依次进行推断，可知①④正确．
答案 ①④
14．某中学争辩性学习小组，为了争辩高中同学的作文水平是否与爱看课外书有关系，在本校高三班级随机调查了50名同学．调查结果表明：在爱看课外书的25人中有18人作文水平好，另外7人作文水平一般；在不爱看课外书的25人中有6人作文水平好，另外19人作文水平一般．
(1)试依据以上数据完成以下2×2列联表，并运用独立性检验思想，指出有多大把握认为高中同学的作文水平与爱看课外书有关系；
爱看课外书
不爱看课外书
总计
作文水平好
作文水平一般
总计
(2)将其中某5名爱看课外书且作文水平好的同学分别编号为1,2,3,4,5，某5名爱看课外书且作文水平一般的同学也分别编号为1,2,3,4,5，从这两组同学中各任选1人进行学习沟通，求被选取的2名同学的编号之和为3的倍数或4的倍数的概率．
参考公式：K2＝，
其中n＝a＋b＋c＋d.
参考数据：
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解 (1)2×2列联表如下：
爱看课外书
不爱看课外书
总计
作文水平好
18
6
24
作文水平一般
7
19
26
总计
25
25
50
由于K2＝＝≈11.538>10.828，
由表知P(K2≥10.828)＝0.001，
所以有99.9%的把握认为高中同学的作文水平与爱看课外书有关系．
(2)设“被选取的2名同学的编号之和为3的倍数”为大事A，“被选取的2名同学的编号之和为4的倍数”为大事B.
则基本大事为
1
2
3
4
5
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
共25个，
由于大事A所包含的基本大事为(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，共9个，所以P(A)＝；大事B所包含的基本大事为(1,3)，(2,2)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，共6个，所以P(B)＝.
由于大事A、B互斥，
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，
即被选取的2名同学的编号之和为3的倍数或4的倍数的概率为.
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