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§2.2 等差数列(一)
课时目标
1．理解等差数列的概念．
2．把握等差数列的通项公式．
1．假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
2．若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，并且A＝.
3．若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝a1＋(n－1)d.
4．等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为递增数列；若公差d<0，则数列{an}为递减数列．
一、选择题
1．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为( )
A．2 B．3
C．－2 D．－3
答案 C
2．△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
答案 B
3．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1(n∈N*)，则a101的值为( )
A．49 B．50
C．51 D．52
答案 D
4．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则等于( )
A. B.
C. D.
答案C
解析 ∴a＝，b＝x.
∴＝.
5．设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )
A．1 B．2 C．4 D．6
答案 B
解析 设前三项分别为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝12且a(a－d)(a＋d)＝48，解得a＝4且d＝±2，又{an}递增，∴d>0，即d＝2，∴a1＝2.
6．等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是( )
A．an＝2n－2 (n∈N*)
B．an＝2n＋4 (n∈N*)
C．an＝－2n＋12 (n∈N*)
D．an＝－2n＋10 (n∈N*)
答案 D
解析 由⇒⇒
所以an＝a1＋(n－1)d，即an＝8＋(n－1)×(－2)，
得an＝－2n＋10.
二、填空题
7．已知a＝，b＝，则a、b的等差中项是
________________________________________________________________________．
答案
8．一个等差数列的前三项为：a,2a－1,3－a.则这个数列的通项公式为________．
答案 an＝n＋1
解析 ∵a＋(3－a)＝2(2a－1)，∴a＝.
∴这个等差数列的前三项依次为，，.
∴d＝，an＝＋(n－1)×＝＋1.
9．若m≠n，两个等差数列m、a1、a2、n与m、b1、b2、b3、n的公差为d1和d2，则的值为________．
答案
解析 n－m＝3d1，d1＝(n－m)．
又n－m＝4d2，d2＝(n－m)．
∴＝＝.
10．首项为－24的等差数列，从第10项起开头为正数，则公差的取值范围是________．
答案 <d≤3
解析 设an＝－24＋(n－1)d，
由解得：<d≤3.
三、解答题
11．已知成等差数列的四个数之和为26，其次个数与第三个数之积为40，求这四个数．
解 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题设得
∴ 解得或所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.
12．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－ (n≥2)，令bn＝.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 ∵an＝4－ (n≥2)，
∴an＋1＝4－ (n∈N*)．
∴bn＋1－bn＝－＝－＝－＝＝.
∴bn＋1－bn＝，n∈N*.
∴{bn}是等差数列，首项为，公差为.
(2)解 b1＝＝，d＝.
∴bn＝b1＋(n－1)d＝＋(n－1)＝.
∴＝，∴an＝2＋.
力气提升
13．一个等差数列的首项为a1＝1，末项an＝41 (n≥3)且公差为整数，那么项数n的取值个数是( )
A．6 B．7 C．8 D．不确定
答案 B
解析 由an＝a1＋(n－1)d，得41＝1＋(n－1)d，
d＝为整数，且n≥3.
则n＝3,5,6,9,11,21,41共7个．
14．已知数列{an}满足a1＝，且当n>1，n∈N*时，有＝，设bn＝，
n∈N*.
(1)求证：数列{bn}为等差数列．
(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？假如是，是第几项； 假如不是，请说明理由．
(1)证明 当n>1，n∈N*时，＝⇔＝
⇔－2＝2＋⇔－＝4⇔bn－bn－1＝4，且b1＝＝5.
∴{bn}是等差数列，且公差为4，首项为5.
(2)解 由(1)知bn＝b1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1.
∴an＝＝，n∈N*.
∴a1＝，a2＝，∴a1a2＝.令an＝＝，
∴n＝11.
即a1a2＝a11，∴a1a2是数列{an}中的项，是第11项．
1．推断一个数列{an}是否是等差数列，关键是看an＋1－an是否是一个与n无关的常数．
2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．
3．三个数成等差数列可设为：a－d，a，a＋d或a，a＋d，a＋2d；四个数成等差数列可设为：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a，a＋d，a＋2d，a＋3d.
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