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其次章 点、直线、平面之间的位置关系
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平 面
【课时目标】 把握文字、符号、图形语言之间的转化，理解公理1、公理2、公理3，并能运用它们解决点共线、线共面、线共点等问题．
1．公理1：假如一条直线上的________在一个平面内，那么________________在此平面内．
符号：________________________________．
2．公理2：过________________________________的三点，________________一个平面．
3．公理3：假如两个不重合的平面有________公共点，那么它们有且只有________过该点的公共直线．
符号：________________________________．
4．用符号语言表示下列语句：
(1)点A在平面α内但在平面β外：______________．
(2)直线l经过面α内一点A，α外一点B：________________________．
(3)直线l在面α内也在面β内：____________．
(4)平面α内的两条直线M、n相交于A：________________________．
一、选择题
1．下列命题：
①书桌面是平面；
②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；
③有一个平面的长是50 M，宽是20 M；
④平面是确定的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作( )
A．M∈b∈β B．M∈b⊂β
C．M⊂b⊂β D．M⊂b∈β
3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有( )
A．1条或2条 B．2条或3条
C．1条或3条 D．1条或2条或3条
4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是( )
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A
D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合
5．空间中可以确定一个平面的条件是( )
A．两条直线 B．一点和始终线
C．一个三角形 D．三个点
6．空间有四个点，假如其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有( )
A．2个或3个 B．4个或3个
C．1个或3个 D．1个或4个
二、填空题
7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．
(1)Aα，a⊂α________．
(2)α∩β＝a，PD/∈α且Pβ________．
(3)a⊄α，a∩α＝A________．
(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．
8．已知α∩β＝M，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线M与A的位置关系用集合符号表示为________．
9．下列四个命题：
①两个相交平面有不在同始终线上的三个公共点；
②经过空间任意三点有且只有一个平面；
③过两平行直线有且只有一个平面；
④在空间两两相交的三条直线必共面．
其中正确命题的序号是________．
三、解答题
10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．
11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同始终线上．
力气提升
12．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明此三条直线必相交于一点．
13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．
求证：(1)C1、O、M三点共线；(2)E、C、D1、F四点共面；
(3)CE、D1F、DA三线共点．
1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作始终线，再证明其他点也在这条直线上．
2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．留意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．
3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．
其次章 点、直线、平面之间的位置关系
§2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2．1．1 平 面
答案
学问梳理
1．两点 这条直线 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
2．不在一条直线上 有且只有
3．一个 一条 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
4．(1)A∈α，A∉β (2)A∈α，B∉α且A∈l，B∈l (3)l⊂α且l⊂β (4)M⊂α，n⊂α且M∩n＝A
作业设计
1．A [由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以推断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确，故选A．]
2．B 3．D
4．C [∵A∈α，A∈β，
∴A∈α∩β．
由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A．
故α∩β＝A的写法错误．]
5．C
6．D [四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．]
7．(1)C (2)D (3)A (4)B
8．A∈M
解析 由于α∩β＝M，A∈a⊂α，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线M上．
9．③
10．解 很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．
∵E∈AC，AC⊂平面SAC，
∴E∈平面SAC．
同理，可证E∈平面SBD．
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，
直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．
11．证明 由于AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，由于H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同始终线上．
12．证明
∵l1⊂β，l2⊂β，l1l2，
∴l1∩l2交于一点，记交点为P．
∵P∈l1⊂β，P∈l2⊂γ，
∴P∈β∩γ＝l3，
∴l1，l2，l3交于一点．
13．证明 (1)∵C1、O、M∈平面BDC1，
又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，
∴C1、O、M三点共线．
(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，
∴EF∥A1B．
∵A1B∥CD1，
∴EF∥CD1．
∴E、C、D1、F四点共面．
(3)由(2)可知：四点E、C、D1、F共面．
又∵EF＝A1B．
∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．
则P∈D1F⊂平面ADD1A1，P∈CE⊂平面ADCB．
∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．
∴CE、D1F、DA三线共点．
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