【创新设计】2021高考数学(人教通用-理科)二轮专题整合：规范练1.docx

1．已知向量m＝(sin x,1)，n＝(A＞0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.
(1)求A；
(2)将函数y＝f(x)的图象左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的值域．
解　(1)f(x)＝m·n＝Asin xcos x＋cos 2x
＝A＝Asin .
由于A＞0，由题意知A＝6.
(2)由(1)得f(x)＝6sin .
将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后得到y＝6sin ＝
6sin 的图象；
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到
y＝6sin 的图象；
因此g(x)＝6sin .
由于x∈，所以4x＋∈，
故g(x)在上的值域为[－3,6]．
2．已知函数f(x)＝sin＋2cos2x－1.
(1)求函数f(x)的单调增区间；
(2)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a＝1，b＋c＝2，f(A)＝，求△ABC的面积．
解　(1)∵f(x)＝sin＋2cos2x－1＝sin2x－cos2x＋cos2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
∴函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)∵f(A)＝，∴sin ＝.
又0＜A＜π，∴＜2A＋＜.
∴2A＋＝，故A＝.
在△ABC中，∵a＝1，b＋c＝2，A＝，
∴1＝b2＋c2－2bccos A，即1＝4－3bc.
∴bc＝1.∴S△ABC＝bcsin A＝.
3．已知函数f(x)＝cos x(sin x－cos x)(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最大值以及取最大值时x的取值集合；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c，且f＝－，a＝3，b＋c＝2，求△ABC的面积．
解　(1)f(x)＝cos x(sin x－cos x)
＝sin xcos x－cos 2x
＝－－
＝sin (2x－)－.
当2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋，k∈Z，
即x∈{x|x＝kπ＋，k∈Z}时，f(x)取最大值1－.
(2)由f()＝－，可得sin (A－)＝0，
由于A为△ABC的内角，所以A＝，
则a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，
由a＝3，b＋c＝2，
解得bc＝1，
所以S△ABC＝bcsin A＝.
4．已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为S，acos C＋
csin A－b－c＝0.
(1)求角A的值；
(2)若a＝，求S＋cos Bcos C取最大值时S的值．
解　(1)由正弦定理，得sin A·cos C＋sin A·sin C－sin B－sin C＝0，
∴sin A·cos C＋sin A·sin C－sin (A＋C)－sin C＝0，
sin A·cos C＋sin A·sin C－sin Acos C－cos Asin C－sin C＝0，
∴sin A·sin C－cos A·sin C－sin C＝0，又sin C≠0，∴sin A－cos A＝1，即2sin (A－)＝1，
∴sin (A－)＝，∵－＜A－＜，
∴A－＝，∴A＝.
(2)∵＝＝＝＝2，
∴b＝2sin B，c＝2sin C，由(1)知C＝－B，
∴S＋cos Bcos C＝·bcsin A＋cos Bcos C
＝··2sin B·2sin C·＋cos Bcos C
＝sin Bsin C＋cos Bcos C
＝sin B·sin (－B)＋cos B·cos (－B)
＝sin 2 B＋sin 2 B－cos2 B＋sin 2B
＝sin 2B＋·(1－cos 2B)－·(1＋cos 2B)＋sin 2B
＝(sin 2B－cos 2B)＋
＝sin (2B－)＋
∵0＜B＜，∴－＜2B－＜，∴当2B－＝，即B＝时，原式取得最大值，
此时S＝()2×sin＝×＝.