资源描述
第一课时 导数与函数的单调性（一）
一、教学目标：
1、学问与技能：⑴理解函数单调性的概念；⑵会推断函数的单调性，会求函数的单调区间。
2、过程与方法：⑴通过具体实例的分析，经受对函数平均变化率和瞬时变化率的探究过程；⑵通过分析具体实例，经受由平均变化率及渡到瞬时变化率的过程。
3、情感、态度与价值观：让同学感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。
二、教学重点：函数单调性的判定
教学难点：函数单调区间的求法
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）．创设情景
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，争辩函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是格外重要的．通过争辩函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数争辩函数的性质，从中体会导数在争辩函数中的作用．
（二）．新课探究
1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图3.3-1
（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区分？
通过观看图像，我们可以发觉：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数．相应地，．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而削减，即是减函数．相应地，．
2．函数的单调性与导数的关系
观看下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．
如图3.3-3，导数表示函数在点处的切线的斜率．
在处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在四周单调递增；
在处，，切线是“左上右下”式的，这时，函数在四周单调递减．
结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间内，假如，那么函数在这个区间内单调递增；假如，那么函数在这个区间内单调递减．
说明：（1）特殊的，假如，那么函数在这个区间内是常函数．
3．求解函数单调区间的步骤：
（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．
（三）．典例探析
例1、已知导函数的下列信息：
当时，；
当，或时，；
当，或时，
试画出函数图像的大致外形．
解：当时，，可知在此区间内单调递增；
当，或时，；可知在此区间内单调递减；
当，或时，，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．
综上，函数图像的大致外形如图3.3-4所示．
例2、推断下列函数的单调性，并求出单调区间．
（1）； （2）
（3）； （4）
解：（1）由于，所以，
因此，在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示．
（2）由于，所以，
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减；
函数的图像如图3.3-5（2）所示．
（3）由于，所以，
因此，函数在单调递减，如图3.3-5（3）所示．
（4）由于，所以 ．
当，即 时，函数 ；
当，即 时，函数 ；
函数的图像如图3.3-5（4）所示．
注：（3）、（4）生练
例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像．
分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开头阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化状况．同理可知其它三种容器的状况．
解：
思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的状况吗？
一般的，假如一个函数在某一范围内导数的确定值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数在或内的图像“陡峭”，在或内的图像“平缓”．
例4、求证：函数在区间内是减函数．
证明：由于
当即时，，所以函数在区间内是减函数．
说明：证明可导函数在内的单调性步骤：（1）求导函数；（2）推断在内的符号；（3）做出结论：为增函数，为减函数．
（四）．课堂练习：课本P59页练习1（1）；2
（五）．回顾总结：（1）函数的单调性与导数的关系；（2）求解函数单调区间；（3）证明可导函数在内的单调性
（六）．布置作业：
五、教后反思：
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