辽宁省葫芦岛市2021届高三上学期期末考试-数学(理)-Word版含答案.docx

2021年葫芦岛市一般高中高三班级调研考试
高三数学（供理科考生使用）
留意事项：
1．本试卷分第I卷、第II卷两部分，共4页．满分150分；考试时间：120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上．
3．用铅笔把第I卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠把Ⅱ卷的答案写在答题纸的
相应位置上．
4．考试结束，将答题卡和答题纸一并交回， ，
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ，则
A.{0,1,2} B. {-1,0,1,2} C.{-l,0,2.3 l D.{0,l,2,3}
2.设复数z满足(1 -i)z=2i，则z=
A.-1+i B.-1-i C.1+i D. l-i
3．等比数列 的前n项和为 ，已知 ，则
A. B． C. D.
4．已知m，n为异面直线，m 平面 ， 平面 .直线 满足 , 则
A．，且 B. ，且
C． 与 相交，且交线垂直于 D． 与相交，且交线平行于，
5．已知实数x，y满足 ，则下列关系式恒成立的是
A. B.
C. D.
6．设函数f(x)满足 ，当 时，，则 =
A． B． C.0 D．
7．若多项式 ，则 =
A.45 B.9 C.- 45 D.-9
8．如图，程序输出的结果s=132，则推断框中应填
A B．
C. D．

9．设两正数量x,y满足约束条件 ，则 的最大值为
A．1024 B．256 C．8 D．4
10.若函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，则关于x的方程 的不同实根个数是
A．6 B．5 C．4 D．3
11.四周体ABCD的外接球为O，AD 平面ABC，AD=2， ，
，则球O的表面积为
A．32 B．16 C．12 D．
12. 是双曲线 的左焦点，P是抛物线 上一点，直线FP与圆相切于点E，且PE=FE，若双曲线的焦距为 ，则双曲线的实轴长为
A． B. C.4 D．2
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.已知向量a、b是夹角为60 的两个单位向量，向量 与向量a -2b
垂直，则实数 _______.
14. 一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图
是等边三角形，该四棱锥的体积等于_______.

15.盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是_______.（结果用最简分数表示）
16.在数列 中， ，若 为等差数列，则 _______.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在三角形ABC中， .
(1)求角C的大小；
(2)若AB=2，且 ，求 的面积．
18.（本小题满分12分）
如图所示，在五棱锥P-ABCDE中，PE 平面ABCDE，DE AE.AB∥DE，BC//
AE，AE=AB=PE=2DE=2BC，F为棱PA的中点，过D、E、F的平面 与梭PB、PC分别交于点G、H．
(l)求证：DE//FG
(2)设DE=l，求直线CD与平面 所所角的大小，
并求线段PH的长。

19.（本小题满分12分）
某商场在元旦进行促销活动，其中有一种过关玩耍，要求参与者闯两关，只有过了第一关才能闯其次关，每关最多可以闯两次，连续两次失败退出玩耍，过关者赐予一种“代金券”嘉奖，在本商场购物可抵相同面值的现金，只过第—关获代金券512元，两关全过可获代金券1024元，A、B、c、D四位顾客有幸参与了这次过关玩耍，已知这四名顾客每人每次闯关成功的概率均为，且每次过关与否互不影响，在该次玩耍中，这四名顾客不放弃全部机会；
(1)求顾客A只获得512元代金券的概率；
(2)求顾客A所获得的代金券金额X的数学期望；
(3)求四名顾客中获得1024元代金券的人数为Y，求Y的数学期望，
20.（本小题满分12分）如图，抛物线 与椭圆 的一个交点为 ， 为椭圆 的右焦点；
(l)求抛物线 与椭圆 的方程：
(2)设 ，过A作直线 交抛物线 于M、N两点（M点在N点的左侧），
分别是过M、N且与抛物线 相切的直线，直线 交于点B，直线 与椭圆 交于P、Q两点．
(i)求证：B点在一条定直线上，并求出这条直线的方程；
(ii)设 ，求△EPQ的面积的最大值，
并求出此时B点的坐标．

21．（本小题满分12分）
已知 ．其中e=2.71828...，m为常数，且t∈R．
(l)若 在(1，h(1))处的切线为 ，求t的值并争辩函数h(x)的单词性；
(2)当t≤3时，证明：f(x)>g(x)．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做第一题计分．
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 ．
如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交B,C两点，且 ，作直线AF与圆E相切于点F，连接EF交BC于点D，己知圆E的半径为2，
(l)求AF的长；
(2)求证：AD=3ED.

23.（本小题满分10分）选修4-乱坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆C的方程是 ，圆心为C．在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线 与圆C相交于A，B两点．
(1)求直线AB的极坐标方程；
(2)若过点C(2，0)的曲线 （t是参数）交直线AB于点D，交y轴子点E，
求 的值．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数
(1)解不等式 ；
(2)求函数 的最小值．

2022---2021学年度上学期高三期末考试
数学试题(理科)
参考答案及评分标准
一.选择题:每小题5分,总计60分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
C
D
C
D
A
B
B
D
B
C
二.填空题:每小题5分,总计20分.
13. 0
14.
15.
16. [1-()n]
三.解答题:
17.(本小题满分12分)
解：(1) 由题，
则，化简得， …2分
即，，所以……………4分
从而，故. ……………………………………………6分
(2) 由，可得.
所以或. ………………………………………7分
当时，,则,; ………8分
当时，由正弦定理得.
所以由，可知. ………………10分
所以.
综上可知 ……………12分

18．（本小题满分12分）
(1)∵DE∥AB,ABÌ平面PAB ∴DE∥平面PAB……………………2分
又∵DEÌα且α∩平面PAB=FG ∴DE∥FG ……………………4分
(2) 图建立空间直角坐标系E-xyz，
则E(0,0,0)，D(1,0,0)，C（2，1，0），B(2,2,0),A(0,2,0),P(0,0,2)，F(0,1,1)
P
E
A
B
D
C
F
G
H
x
y
z
=(-1,-1,0), =(1,0,0) , =(0,1,1)
设平面α的法向量为=(x,y,z),
由·=0且·=0得：,取y=-1得： =（0,-1, 1）
设直线BC与平面ABF所成角为q，则
sinq＝|cos〈，〉|＝＝.
因此直线CD与平面α所成角的大小为.…………………………………………8分
设点H的坐标为(u，v，w)．
由于点H在棱PC上，所以可设＝λ(0<λ<1)．
即(u，v，w－2)＝λ(2，1，－2)，所以u＝2λ，v＝λ，w＝2－2λ.
由于是平面ABF的一个法向量，
所以·＝0，
即(0，－1，1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0，
解得λ＝，所以点H的坐标为.
所以PH＝＝2. …………………………………………12分
19．（本小题满分12分）
解： “顾客A第i次闯第一关成功”记作大事Ai,(i=1,2), “顾客A第i次闯其次关成功”记作大事Bi,(i=1,2), “顾客A闯第一关成功”记作大事A, “顾客A闯其次关成功”记作大事B,则P(Ai)=P(Bi)= ，P(A)=1-P()=1-×=, P(B)=1-P()=1-×=…………2分
(1)设大事C=“顾客A只获得512元代金券”，则
P(C)= P(A1)+P(A2)=××+×××=
(或由P(A)=(1-×)××求得，同样赋分）……………………………………………6分
（2）X的可能取值为：0，512，1024
P(X=0)=P()=×=
P(X=512)= P(A)= P(A1)+P(A2)=××+×××=
P(X=1024)=P(AB)= ×=
∴EX=0×+512×+1024×=930(元）……………………………………………10分
∴顾客A所获得的代金券金额X的数学期望为930(元）
（3）由题意，Y～B(4, ) ∴EY=4×=≈3.2(人）…………………………12分
20.(本小题满分12分)
解：（1）∵点P在抛物线C1上，∴（）2=2p· ∴ p= ∴抛物线C1的方程为：x2=y
又∵点P在椭圆C2上 ∴由椭圆定义可知：2a=+=2 ∴a=
又∵c=1 ∴b=1 ∴椭圆C2的方程为：+y2=1……………………………………………6分
(2) (i)由x2=y得：y=x2 ∴y¢=x 设M(x1,y1)、N(x2,y2) 、B(xB,yB)
设直线l1、l2的斜率分别为k1、k2,则k1=y¢|x=x1=x1, k2=y¢|x=x2=x2
∴直线l1的方程为：y-y1=x1 (x-x1) 3x1x-8y-3x12+8y1=0 又∵M在抛物线上 ∴x12=y1
∴直线l1的方程为：3x1x-8y-8y1=0 同理直线l2的方程为：3x2x-8y-8y2=0
∵直线l1与直线l2交于B点 ∴ ∴直线3xBx-8yB-8y=0过M、N两点
即直线MN的方程为：3xBx-8yB-8y=0 ∵直线MN过点A(,) ∴3xB×-8yB-8× =0
整理得是：3xB-16yB-24=0 即B点在定直线3x-16y-24=0上。………………………8分
(ii)联立方程组： 消元整理得：
（18x12+64)x2-96x1y1x+128y12-128=0……………………①
△=(-96x1y1)2-4×(18x12+64)(128y12-128)=16×64(9x12-32y12+32)>0
∴9x12-32y12+32>0 ……………………………………②
设P(x3,y3)、Q(x4,y4),则x3、x4是方程①的两个解，由韦达定理得：
x3+x4=, x3x4=
∴|PQ|=·=·
=·
将x12=y1代入得：
|PQ|=·=·=··
设E到直线l1的距离为d,则d==·
∴S△EPQ=·|PQ|·d=·····=
=≤×=
∴△EPQ的最大值为，此时y1=,x1=-2……………………………………………10分
将y1=,x1=-2代入②，经检验②式成立。∴直线l1的方程为3x+4y+3=0与3x-16y+24=0联立解得B坐标为（,-) ……………………………………………12分
21. (本小题满分12分)
(1)h¢(x)=f¢(x)-h¢(x)=-e1-x+ h¢(1)=-1+=0 ∴t=2
∴h¢(x)= -e1-x+ 令m(x)= -e1-x+ 则=m¢(x)=e1-x+>0 m
∴m(x)在（-∞，2） 上单调递增 即h¢(x)在（-∞，2） 上单调递增 ∵h¢(1)=0
∴当x∈(-∞,1)时，h¢(x)<h¢(1)=0,h(x)在(-∞,1)上单调递减；当x∈(1,2)时，h¢(x)>h¢(1)=0,h(x)在（1，2）上单调递增；
综上：h(x)的单调减区间为(-∞,1)，h(x)的单调增区间为（1，2）………………………6分
（2）当t≤3，x∈(-∞,t)时，ln(t-x)≤ln(3-x)
∴若要证f(x)>g(x)，只需证：f(x)>ln(3-x)
证法一：令j(x)=f(x)-ln(3-x)=e1-x-ln(3-x)
j¢(x)=-e1-x+ 易证：j¢(x)在（-∞,3)上单调递增且j¢(1)=-1+<0, j¢(2)=-+1>0,∴存在唯一个x0∈(1,2)，使得j¢(x0)=0 ∴-e1-x0+=0 = e1-x0 ln=ln e1-x0 ∴ln(x0-3)=x0-1
当x∈(-∞,x0)时，j¢(x)<0,当x∈(x0,3)时j¢(x)>0
∴j¢(x)在(-∞,x0)单调递减，在(x0,3)单调递增；
∴j(x)≥j(x0)=e1-x0-ln(3-x0)= -(x0-1)== >0
即j(x) >0 ∴f(x)>ln(3-x)
∴f(x)>ln(3-x) ……………………………………………12分
证法二：先证明ln(3-x)≤2-x(由lnx≤x-1代换）
令n(x)= ln(3-x)-2+x 则n¢(x)=-+1=
∴n(x)在（-∞，2)上单调递增，在（2，3）上单调递减；
∴n(x)≤n(2)=0 即ln(3-x)≤2-x（当且仅当x=2时取“=”号）……………………①
再证：f(x)≥2-x 即证：e1-x≥2-x
令p(x)=e1-x+x-2 则p¢(x)=-e1-x+1 易知：p(x)在(-∞,1) 上单调递减,在(1,3) 上单调递增
∴p(x)≥p(1)=0
∴p(x)≥0 即f(x)≥2-x(当且仅当x=1时取“=”号）……………………②
由①②可知：f(x)≥2-x≥ln(3-x)
∴f(x)≥ln(3-x) 又∵①②中不行能同时取“=”号
∴f(x)>ln(3-x)
∴f(x)>g(x) ……………………………………………12分
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
解(1) 延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，
又BM=2BE=4，∠EBC=30°，所以BC=2，
又AB=AC，可知AB=BC=.
所以依据切割线定理AF2=AB·AC=×3=9，
即AF=3. ……………………5分
(2) 过E作EH⊥BC于H，则△EDH∽ADF，
从而有==，因此AD=3ED. …………………………10分
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

（1）在以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，
极坐标与直角坐标有关系：或 ，……………1分
所以圆C1的直角坐标方程为，………………………2分
联立曲线C：，得
或,
即不妨令，从而直线的直角坐标方程为：，
(此处如下解法也可：联立曲线C1与C，消去与项，得)
所以，，即， …………………………4分
所以直线AB的极坐标方程为，R）. ……………………5分
（2）（方法一）由(1)可知直线AB的直角坐标方程为：， ……………6分
依题令交点D则有，
又D在直线AB上，所以，，解得，
由直线参数方程的定义知|CD|=||， …………………………………8分
同理令交点E，则有，
又E在直线上，所以，解得，
所以|CE|=||， ………………………………………………………9分
所以|CD|:|CE|=. ……………………………………………………10分
（方法二）将曲线C2:(是参数)化为一般方程:， ……6分
将其联立AB的直线方程:，解得:，从而D，
再将曲线C2与直线联立，解得，从而E，
这样|CD|==， ………………………………………8分
|CE|==， …………………………………………9分
从而|CD|:|CE|=. ………………………………………………10分
24．解：
（Ⅰ） ……3分
不等式等价于：
或或
解得：或
不等式的解集为或. ……6分
（Ⅱ）依据函数的单调性可知函数的最小值在处取得，
此时. …… 10分