江苏省2021届高三数学体艺午间小练及答案：解三角形与立体几何(20).docx

高三体艺午间小练：解三角形与立体几何（20）

1．设函数．
（1）求的最小正周期和值域；
（2）在锐角△中，角的对边分别为，若且，，求和．

2．如图所示,矩形ABCD中,AB=a,AD=b,过点D作DE⊥AC于E,交直线AB于F.现将△ACD沿对角线AC折起到△PAC的位置,使二面角PACB的大小为60°.过P作PH⊥EF于H.

(1)求证:PH⊥平面ABC;
(2)若a+b=2,求四周体PABC体积的最大值.

参考答案
1．（1）,,（2）,.
【解析】
试题分析：（1）要争辩三角函数的性质，首先先将三角函数化为型.利用降幂公式及倍角公式可将函数次数化为一次，再利用配角公式化为，然后利用基本三角函数图像求其最小正周期和值域，（2）解三角形问题，一般利用正余弦定理解决.本题为已知两角及一对边，选用正弦定理.由于是锐角△，开方时取正.
试题解析：（1）=
=． 3分
所以的最小正周期为， 4分
值域为． 6分
（2）由，得．
为锐角，∴，，∴． 9分
∵，，∴． 10分
在△ABC中，由正弦定理得． 12分
∴． 14分
考点：倍角公式，正余弦定理
2．(1)见解析 (2)
【解析】
(1)证明:∵DF⊥AC,
∴折起后AC⊥PE,AC⊥EF,
∴AC⊥平面PEF,
又PH⊂平面PEF,
∴AC⊥PH,
又PH⊥EF,EF∩AC=E,
∴PH⊥平面ABC.
(2)解:∵PE⊥AC,EF⊥AC,
∴∠PEF就是二面角PACB的平面角,
∴∠PEF=60°,
∴Rt△PHE中,PH=PE,
折起前,Rt△ADC中,
DE==,
S△ABC=ab,
折起后,PE=DE,
∴PH=PE=·,
∴=PH·S△ABC
=···ab
=·,
∵a+b=2,a>0,b>0,
∴≤=≤=,
当且仅当a=b=1时,两个等号同时成立,
因此()max=.