几何与线性代数习题册0123讲课讲稿.doc

几何与线性代数习题册20140123

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习题一 几何向量及其运算
姓名 学号 班级
一、填空题
1． 下列等式何时成立：
1）， 当 ；
2），当 ；
3）， 当 ；
4），（为非零向量），当 ；
5）， 当 。
2．指出下列向量组是线性相关还是线性无关：
1）是 ； 2）不平行，是 ；
3）共面，是 ；
4）不共面，是 。
3．在空间直角坐标系中，点关于关于平面的对称点是 ；关于原点的对称点是 ；关于轴的对称点是 ；在平面上的投影点坐标是 ；在轴上的投影点是 ；到平面的距离是 ；到原点的距离是 ；到轴的距离是 。
二、设为线段上任一点，证明存在数，使得。

三、已知向量，证明共面。

四、判断题
1．若，且，则。 （ ）
2．共面的充分必要条件是。 （ ）
3．。 （ ）
4． 。 （ ）
五、填空题
1．已知向量，则
1）= ；2） = ；3）= 。
2．已知，其中，则三角形的面积 。
六、已知 。问
1）为何值时，与平行； 2）为何值时，与垂直。

七、已知与垂直，且，计算：(提示: )
1）； 2）； 3）。

习题二 向量及其运算的坐标计算
姓名 学号 班级
一、填空题
1．平行于轴的向量一般表示式是 。
2．向量，，它们的夹角 。
3．向量，，当= 与= 时，与平行。
4．设三力，，作用于一质点，使质点产生的位移向量，则合力所做的功 。
5．三角形的三个顶点为，其面积 。
6．和向量都垂直的单位向量是 。
二、已知向量，求的方向余弦及与平行的单位向量。

三、证明向量在上的投影向量为，并求向量在向量上的投影向量。

四、向量是否共面？若不共面，试计算以这三个向量为棱所作的平行六面体体积。

五、设向量共面，且求。

习题三 平面与直线
姓名 学号 班级
一、填空题
1． 平行于平面且与此平面的距离为3的平面方程
是 。
2． 如果平面与平行，则 ；
若垂直，则 。
3． 过三点的平面方程是 。
4．过轴且垂直于平面的平面方程是 。
5．点A(2,3,1)到平面的距离是 。
6．通过点和且平行于轴的平面方程为 。
7．过点的直线方程是 。
8．过点且垂直于直线的平面方程是 。
9．过点且垂直于平面的直线方程是 ，
点在此平面上的投影点坐标是 ；点关于此平面的对称点坐标是 。
二、求满足下列条件的平面方程
1．过原点引平面的垂线，垂足是点的平面方程。

2．通过点且平行于向量的平面方程。

三、求过点且通过直线的平面方程。

四、求点到直线的距离。

五、求两异面直线之间的距离。

习题四 线性方程组
姓名 学号 班级
一、用加减消元法求解下列线性方程组 1) .

2)

二、对非齐次线性方程组，当a，b为何值时无解？何值时有无穷多解？

三、液态苯在空气中可以燃烧。如果将一个冷的物体直接放在燃烧的苯上部，则水蒸气就会
在物体上凝结，同时烟灰（碳）也会在物体上沉积.这个化学反应的方程式为

求变量以配平该方程。

习题五 矩阵的运算
姓名 学号 班级
一、 填空题
1．设，则当且仅当 时，。
2．的充分必要条件是 。
3．设，则 ； 时，。

4．。

5．；

。
二、设，，计算：；及（为正整数）。（提示：用矩阵乘法的结合律）

三、设验证是否成立？

四、若A, B满足，则称B和A可交换。设求所有与可交换的矩阵。

五、设，记为方阵的多项式，即，若，计算。

六、把向量方程改写成方程组的形式和矩阵乘积的形式。

习题六 对称矩阵与分块矩阵
姓名 学号 班级
一、1）设、为阶方阵，且为对称矩阵，证明也是对称矩阵。
2）设、均为阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充分必要条件是。

二、设为维列向量，且，设证明是对称矩阵且

三、设，计算。

四、设，按照不同的分块方式计算乘积：
（1）不分块，按列分块；（2）按行分块，不分块；（3）按行分块，按列分块。

习题七 行列式的性质与计算
姓名 学号 班级
一、 填空题
1．设，则 。
2．设，则 ， 。
二、选择题
1．设为阶方阵，若经过若干次初等变换变成矩阵，则下面的结论正确的是（ ）。
； 若则必有；
； 若则必有。
2．若A，B为同阶方阵，则有（　 　）
；　　　　　　 　；
　 ； 。
三、计算下列行列式：
（1） （2）

(3) （提示：按一行或一列展开，求递推公式）

四、用数学归纳法证明：

习题八 逆矩阵（一）
姓名 学号 班级
一、填充题
1．设为3阶方阵，且，则 ， ，
， ； 。
2．设，则；=。
3．设，则。
4．如分别是阶和阶可逆矩阵，为阵，则。
5．设A＝，且，则。
二、选择题
1．设阶方阵满足，则下面的结论正确的是（ ）。
；；；。
2． 设为阶方阵，则 （　 　）
若都可逆，则必可逆； 若都不可逆，则必不可逆；　
若可逆，则都可逆； 若不可逆，则都不可逆。
3．已知为n阶方阵，若有n阶方阵B使 则（　 　）
　　（A）B为单位矩阵；（B）B为零方阵；；（D）不一定。
4．若为同阶方阵，且满足，则有（　　）
　　（A）或；　　　　　 （B）|A|＝0或|B|＝0；
　　（C）；　　　 （D）A与B均可逆；
三、求下列矩阵的逆矩阵
（1） （2）

四、解矩阵方程 。

习题九 逆矩阵(二)
姓名 学号 班级
一、设矩阵满足如下关系式，其中，求矩阵。

二、设阶矩阵和满足，证明1）为可逆矩阵；2）。

三、设n阶方阵A满足方程，求。

四、用克莱姆法则求解线性方程组

习题十 秩与初等变换
姓名 学号 班级
一、选择题
1．若是阶可逆矩阵，则（ ）
（A）若，则 （B）总可以经过初等行变换化。
（C）对矩阵实施若干次初等变换，当变为时，相应地正变为。
（D）对矩阵实施若干次初等变换，当变成时，相应地变为。
2．设，，
，，则恒有（ ）
（A） （B） （C） （D）
3．设均为n阶非零矩阵，且，则和 满足（ ）。
（A）必有一个等于零； （B）都等于n；
（C）一个小于n，一个等于n； （D）都小于n。
4．设阶矩阵的秩为r，则下列结论错误的是（ ）。
（A）有r阶子式非零； （B）的所有r+1阶子式为零；
（C）没有r阶子式为零； （D）。
5．方程组必（ ）。
（A）无解； （B）仅有零解；
（C）有非零解； （D）以上都不对。
二、填空题
1．。
2．。
3．如，其中，，则= 。
4．设为3阶方阵，且满足，则 。
5．已知矩阵 的秩是1，则a = 。
三、用初等变换求矩阵的秩并给出A的一个最高阶非零子式。

四、用行初等变换求矩阵的逆矩阵

习题十一 方程组解的判断
姓名 学号 班级
一、填空题
1．设是矩阵，则齐次线性方程组只有零解的充要条件
是 ，有非零解的充要条件是 。
2．设是矩阵，则非齐次线性方程组有唯一解的充要条件
是 ，有无穷多解的充要条件是 ，
无解的充要条件是 。
3. 设A为n阶方阵，则非齐次方程组有唯一解的充要条件为|A| ；齐次线性方程组有非零解的充要条件为|A| ；只有零解的充要条件为|A| 。
二、求解线性方程组

三、取何值时，方程组有非零解。

四、设有非齐次线性方程组 ，为何值时，此方程组有唯一解、无解或无穷多解？

习题十二 线性相关与线性无关
姓名 学号 班级
一、填空题
1．设线性无关，则它的任何一个部分组线性 。
2．设线性相关，则线性 。
3．设有维列向量组，记矩阵，则线性相关的充分必要条件是 （用矩阵的秩表示）。
4．若向量组线性相关，则t =________。
二、选择题
1．已知可由线性表示，不能由线性表示，则下面结论正确的是（ ）。
（A）能由 线性表示，也能由线性表示；
（B）能由 线性表示，但不能由线性表示；
（C）不能由 线性表示，也不能由线性表示；
（D）不能由 线性表示，但能由线性表示。
2．设线性无关，则下列向量组线性相关的是（ 　 ）。
（A）； （B）；
（C）； （D）。
三、写出向量组对应的矩阵，并把式子写成矩阵乘积的形式。

四、设,,,。 当a,b为何值时，1）不能由线性表示；2）可以由唯一地线性表示；3）可以由线性表示，但表示法不唯一。

五、证明设向量线性无关，，则向量组也线性无关。

习题十三 极大无关组与秩
姓名 学号 班级
一、填空题
1．能互相线性表示的两个向量组，称为 向量组。
2．在向量组中，若存在个向量，它们满足① ，② 则称为向量组的极大无关组。
3．向量组的极大无关组所含向量个数，称为 。
4．任一向量组与其极大无关组是 向量组。
5．设向量组可由向量组线性表示，则向量组的秩
向量组的秩；若向量组与向量组等价，则它们的秩 。
二、已知向量组
证明向量组能由线性表示，但向量组不能由线性表示。

三、设有向量组，
，求该向量组的秩及其一个极大无关组，并将其余向量组用这个极大无关组线性表示。

四、已知，，及，，，
证明：秩=秩。

习题十四 线性相关性（补充）
姓名 学号 班级
一、证明题
1）设是一组维向量，已知维单位坐标向量能由
它们线性表示，证明线性无关。

2）设是一组维向量，则线性无关任一维向量
可用它们线性表示。

3）设是矩阵，且，则。

4）设 是一组维列向量，则线性无关行列式。

习题十五 向量空间、基和维数
姓名 学号 班级
一、填空题
1．设是实数域上的向量空间，是中一组向量，如果满足① ；② 。则称是的一组基，基中所含向量的个数称为 。
2．设是向量空间的一组基，对于任意的，可以用唯一地线性表示为，称有序数组为在基下的 。
3．设与是向量空间中的两组基，若它们满足
（其中），称阶矩阵为 。
4．设与是向量空间的两组基，由前一组基到后一组基的过渡矩阵为，，且在旧基与新基下的坐标分别为： 和则 。
二、检验下列集合对于向量加法与数乘运算是否是实数域上的向量空间：
（1）；（2）。

三、试证明向量，，构成的一组基，并求出在基下的坐标。

四、在中取两组基，，； ，
,。求由基到基的过渡矩阵和坐标变换公式。

习题十六 方程组解的结构
姓名 学号 班级
一、选择题
1． 设是所对应的齐次线性方程组 ，则下面结论正确的是（ ）。
（A）若仅有零解，则有唯一解；
（B）若有无穷多组解，则只有零解；
（C）若有无穷多组解，则有非零解；
（D）若有非零解，则有无穷多组解。
2．若是某非齐次线性方程组的两解向量，则（　　　）
（A） 是它的解向量 （B） 是它的解向量
（C） 是其对应齐次方程组的解向量 （D） 是其对应齐次方程组的解向量
3．若是齐次方程组的基础解系，则下列答案中也是基础解系的为（　　　）
（A） （B） 的任意三个线性组合
（C） （D）
二、求齐次线性方程组的一个基础解系，并写出相应的通解。

三、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是其三个解向量，且
，，求该方程组的通解。

四、求解非齐次线性方程组。

五、设是非齐次线性方程组的一个解，是其对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：
1）线性无关； 2）线性无关。

习题十七 内积、特征值与特征向量
姓名 学号 班级
一、选择题
1．以下说法正确的是（　　　　）
A．正交向量组必定线性无关； B．线性无关向量组必定正交；
C．正交向量组不含零向量； D．线性无关向量组不含零向量。　
2．正交矩阵的行列式为（ ）
A．； B．； C．； D．或。
3． 设A为正交矩阵，则下列矩阵中，不是正交矩阵（其中k是不为1的正整数）的是（　　　）
A．； B．； C．； D． 。
二、填空题
1．阶方阵的不同特征值所对应的特征向量 ；若是阶方阵的个特征值，则 ， 。
2．已知三阶矩阵的三个特征值分别为，则 ， 。
3．设为阶方阵，有非零解，则必有一特征值为 。
4．若矩阵与相似，则与的特征值 ；阶矩阵与对角阵相似的充要条件是 。
5．设是矩阵的一个特征值，是的对应于的一个特征向量，是矩阵的一个多项式矩阵，则的特征值是 ，其相应的一个特征向量是 。
6．已知是的逆矩阵的特征向量，则 。
三、设是中一组标准正交基，证明：，，也是中一组标准正交基。

四、用Schmidt正交化方法，将下列的基，，化为标准正交基，并求向量在此标准正交基下的坐标。

五、求矩阵的特征值和特征向量。

六、如果n阶矩阵满足，证明矩阵的特征根只能是0或1。

习题十八 相似矩阵与对角化
姓名 学号 班级
一、选择题
1．如果矩阵与相似（），则（　　　　）
A．存在可逆矩阵，使得；B．存在正交矩阵，使；
C．存在可逆矩阵，使； D．存在可逆矩阵，使。
2．设n阶矩阵有n个线性无关的特征向量，则下面说法正确的是（　 　　）
A．存在正交矩阵，使为对角矩阵；
B．不一定存在正交矩阵，使为对角矩阵；
C．不存在正交矩阵，使为对角矩阵；
D．只有当矩阵A为实矩阵时，存在正交矩阵，使为对角矩阵。
二、判断矩阵是否与对角阵相似。

三、设3阶方阵的特征值为，，，对应的特征向量依次为，
，，求。

四、设矩阵与矩阵相似，其中，。求和的值。

习题十九 实对称矩阵的性质
姓名 学号 班级
一、填空题
1．实对称矩阵的特征值一定是 ，其不同的特征值所对应的特征向量 。
2．已知，，是三阶实对称阵的三个不同特征值所对应的特征向量，则 ， 。
3．设三阶实对称矩阵的特征值为，对应于的特征向量，则属于特征值的所有特征向量为 。
二、设为三阶实对称矩阵，是其特征值，已知对应的特征向量为，对应的一个特征向量为，试求参数及的另一个与正交的特征向量和矩阵。

三、对实对称矩阵，求正交矩阵和对角阵，使得。

四、设阶实对称矩阵的特征值，证明存在特征值非负的实对称矩阵，使得。

习题二十 二次型及其标准形
姓名 学号 班级
一、填空题
1．矩阵对应的二次型是 ，二次型
所对应的矩阵是 。
2．二次型的秩为2，则 。
3．阶矩阵与正交矩阵合同，则其秩 。
4．已知二次型的矩阵为，且此二次型的正惯性指数为3，则的取值范围是 。
5．二次型的秩为 ，正惯性指数为 ，负惯性指数为 。
6．设是正定矩阵，则满足条件 。
7．设阶实对称矩阵的特征值分别为，则当 时，为正定矩阵。
8．实对称矩阵正定的充要条件是其特征值全部 。
二、把变量代换 写成矩阵形式并求由变量到变量的变量代换。

三、已知变量代换 和，求由变量到变量的变量代换。

四、用正交变换将二次型化为标准形。

习题二十一 正定二次型与正定矩阵
姓名 学号 班级
一、已知二次型的秩为2，求系数及此二次型所对应矩阵的特征值。

二、已知二次型，通过正交变换化为标准形，求参数及所用正交变换矩阵。

三、判断二次型的正定性.

四、设是阶正定矩阵，证明。

五、设是阶实对称矩阵，试分别确定实数的取值范围，使得是（1）正定矩阵；（2）负定矩阵；（3）不定矩阵；（4）可逆矩阵。

试卷一
一、选择题（每小题3分，共15分）
1．设是阶方阵，且满足，则下列结论正确的是
（）若，则不可逆； （）可逆；
（）若，则可逆； （）可逆。
2．设向量组线性无关，线性相关，则
（）能被线性表示； （）不能被线性表示；
（）能被线性表示；（）不能被线性表示。
3．为阶矩阵，，，则
（）； （） ； （） ； （）。
4．齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是
（）的任意两个列向量线性相关；（）中必有一列向量是其余列向量的线性组合；（）的任意两个列向量线性无关；（）中任一列向量都是其余列向量的线性组合。
5. 设为矩阵，，且，则线性方程组
（）有唯一解； （）有无穷多解； （）无解； （）可能无解。
二、填空题（每小题3分，共15分）
1．已知垂直，且，则 。
2. 设是非齐次线性方程组的解，，则是
的解的充分必要条件为 ，是齐次线性方程组的解的
充分必要条件为 。
3.设矩阵相似于对角矩阵，则 ， 。
4.设为阶方阵，且，则的特征值可能取值为 。
5．设为正整数，则= 。
三、计算题（共58分）
1．（6分）求通过点且在轴上截距相等的平面方程。
2．（6分）求过点且与直线和
都垂直的直线方程。
3．（8分）已知，，且，求。
4．（8分）计算阶行列式。
5．（8分）设向量组，，，，，试求这个向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组线性表示。
6．（10分）已知线性方程组，问：取何值时方程组有无穷多解，并求其通解。
7．（12分）已知三元二次型经正交变换化为标准形，且已知对应特征值有一个特征向量，试求正交变换。
四、证明题（共12分）
1．（6分）设是一组维向量，则线性无关任一维向量可用它们线性表示。
2．（6分）设为维列向量，且，矩阵。证明：行列式。
试卷 二
一、 填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
1．已知垂直，且，则=________。
2．设是三阶非零矩阵，的每一列向量都是方程组的解,则=_____。
3．设3阶方阵的三个特征值为1，2，， 则____ 。
4．设矩阵相似于矩阵，则_____ ，____ 。
5．二次型的秩为_________。
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
1. 设A为矩阵，，把A按行分块为，其中是A的第j行，则行列式值为( )。
A．6； B.-6 ； C.-54； D. 54
2.设向量组的秩为,的秩为,的秩为,则下列不正确的是（ ）。
A．若(1)可由(2)线性表示，则； B. 若(2)可由(1)线性表示，则；
C. 若 ，则； D. 若 ，则。
3．设是三阶方阵，将的第1列与第2列交换得，再将的第2列加到第3列得，则满足的可逆矩阵为（ ）。
A．； B. ；C. ：D．
4．设矩阵的行向量线性无关，则下列错误的是（ ）
A．只有零解； B. 必有无穷多解；
C. 有唯一解； D. 总有无穷多解。
5．阶矩阵具有个不同的特征值是与对角阵相似的（ ）。
A．充分必要条件； B. 充分而非必要条件；
C. 必要而非充分条件； D. 既非充分也非必要条件。
三、计算题（共58分）
1．（6分）求过点且垂直于平面的直线方程。
2．（6分）求垂直平面，并通过从点的垂线的平面方程。
3．（8分）设阶矩阵和满足，已知，求矩阵。
4．（8分）计算行列式：。
5．（10分）已知
；问为何值时：
（1）可由线性表示，且表示法唯一；（2）不可由线性表示；（3）可由线性表示，且表示法不唯一，并写出一般表示式。
6．（10分）设求该向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组线性表示。
7．（10分）已知3阶实对称矩阵的特征值为，，且属于的特征向量为,属于的特征向量。（1）求k的值；（2）求属于特征值 的另一个与正交的特征向量；（3）求正交矩阵，使得为对角矩阵。
四、证明题（共12分）
1．（6分）设是矩阵，是矩阵，其中，若，
证明：的列向量线性无关。
2．（6分）设是矩阵，，试证明：正定的充分必要条件是。
试卷 三
一、 填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
1． 已知向量满足，则_______
2． 设，则
3．
4． 设3阶方阵的三个特征值为2，3，， 若行列式，则=__ __
5． 设，为矩阵和矩阵 若,则
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
1. 一个阶方阵的行列式，其值不为零，经过若干次矩阵的初等变换后，其行列式的值 ( )
A．保持不变； B. 保持不为零；
C. 可以变成任何值； D. 保持相同的正负号
2. 设向量组Ⅰ：可由向量组Ⅱ：线性表示下列命题正确的是（ ）
A．若向量组Ⅰ线性无关，则； B. 若向量组Ⅰ线性相关，则；
C. 若向量组Ⅱ线性无关，则； D. 若向量组Ⅱ线性相关，则
3．设为矩阵，是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组，那么（ ）
A．若只有零解，则有唯一解；
B. 若有非零解，则无穷多组解；
C. 若无穷多组解，则只有零解；
D. 若无穷多组解，则有非零解
4．阶方阵相似于对角阵的充分必要条件是有个（ ）
A．互不相同的特征值； B. 线性无关的特征向量；
C. 互不相同的特征向量； D. 两两正交的特征向量
5. 已知二次型正定，则实数的取值范围是
( )
A．； B. ；
C. ； D.
三、计算题（共34分）
1．（本题满分6分）求直线 与平面的夹角
2．（本题满分6分）求过点与直线平行的直线方程
3．（本题满分6分）设 ，求
4．（本题满分8分）计算行列式：
5．（本题满分8分）向量组
求该向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组线性表示
四、（本题满分12分）
设 已知线性方程组至少存在两个不同的解
（Ⅰ）求
（Ⅱ）求方程组的通解
五、（本题满分12分）
设求正交矩阵，使得为对角矩阵
六、证明题（共12分）
1．（本题满分7分）设为3阶矩阵，为的分别属于特征值的特征向量，向量满足 证明线性无关
2．（本题满分5分）证明两个正定矩阵的和仍是正