蝴蝶定理模型讲课讲稿.doc

蝴蝶定理模型

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A
B
C
D
O

蝴蝶定理模型
【1】任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）
（1）或
A
B
C
D
O

（2）根据与的高相等，与的高相等可以得到
【2】梯形中的比例关系（“蝴蝶定理”）
（1）(、为份数)
（2）(、为份数)
D
A
C
B
E
F
M
N
O
P
Q
（3）梯形面积的对应份数为：(、为份数)
【3】已知四边形ABCD，O是BD的中点。NE、MF相交于点O。
那么OP＝OQ

【例1】已知正方形的面积为12，E、F是DC上三等分点。求阴影部分的面积。
【分析提示】：由E、F是DC上三等分点可知，。
设(份)，根据梯形蝴蝶定理1可以知道份,

份。
又。
从而阴影部分的面积为： 。

A
B
C
D
G
1
2
3
【例2】如图，四边形ABCD被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积如图所示。求（1）;
(2)。
【分析提示】：根据任意四边形中蝴蝶定理可以知道,
那么
（2）

。

【训练与提高】
1.在直角梯形ABCD中，AB=15厘米，AD=12厘米，阴影部分的面积为15平方厘米。梯形ABCD
A
B
C
D
F
15
12
E
的面积是多少平方厘米？
解答:连接AE,可得，。而因为
再次用蝴蝶定理可求
所以

2．如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为多少？
解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空
白三角形的高均为（ ），因此空白处的总面积为（ ），
阴影部分的面积为（ ）＝（ ）。

解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底
都为2，下底都为6，上底、下底之比为（ ），根据梯形蝴蝶定理，这四
个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比为（ ），所以每个梯形中的
空白三角形占该梯形面积的（ ），阴影部分的面积占该梯形面积的（ ），所
以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的（ ），那么阴影部分的面积为（ ）。

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