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4极值原理与最大模估计

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§4极值原理与最大模估计
4．1弱极值原理
从物理上看,如果物体内部没有“热源”,则在整个热传导的过程中,温度总是趋于平衡,温度最高处热量向其它地方扩散,温度最低处的温度趋于上升,因此物体的最高温度和最低温度总是在初始时刻或物体的边界上达到.如果物体的边界温度及初始温度都不超过某值M,而且物体内部没有热源,则这物体内就不可能产生大于M的温度.物理上这种现象的数学描述就是所谓“极值原理”.
记,的侧边与底边统称为的抛物边界,记为或,,,
,
,
,
我们将考虑热传导方程
（4.1）
从第一节我们知道,如果,则称杆内有热源；如果,则表示杆内有冷源,或称为热汇.
定理4.1（弱极值原理）设,且满足则在上的最大值必在的抛物边界上达到,即
（4.2）
证明 先设,则我们断言必不能在内达到最大值.在上连续,有最大值,必在上达到,若不然,设在某点,使得
,
则
当
当
因此这与的假设矛盾,因而必不能在内达到最大值..
现在考虑一般的情况,即,我们设法将它归结为前面已证的情况.
为此,对于任意,考虑辅助函数

简单计算可得

应用已证的断言,一定不能在内达到最大值,（在上达到最大值）
则有

令,得

推论 设,且满足则在上的最小值必在上达到,即
（4.3）
如果则在上的最大值与最小值都必在抛物边界上达到,即
, ,
,
.
证明 令,则,利用定理4.1,则

由此即得,
如果则有,,,于是有

附注 这里我们注意两种不同的说法：“必在抛物边界上达到”与“除恒为常数外不能在内（包括）达到”的区别,后者的结论更强.由于我们定理的结论属于前者,因此称为弱极值原理.
我们还可以讨论稍一般的方程
（4.4）
定理4.2 设,又设,且满足则在上的非负最大值必在抛物边界上达到（如果存在的话）,即
（4.3）
其中.
证明 （1）先设则我们断言的非负最大值必不能在内达到.如不然,设在某点,使得
,
则
因此这与的假设矛盾,因而必不能在内达到非负最大值,.
（2）现在考虑一般的情况,即,我们设法将它归结为前面已证的情况.
为此,对于任意,考虑辅助函数

简单计算可得

应用已证的断言,一定不能在内达到非负最大值,则有

即
令,则有

推论 设,又设,且满足则在上的非正最小值必在抛物边界上达到（如果存在的话）,即

其中.
如果在内那么

附注 当的条件放宽为上面形式的极值原理不再成立.
例如 对

显然,
的非负最大值在处达到非负最大值.
但我们有
定理 4.3 设,其中为正常数,又设且满足那么如果,必有
证明 令容易验证满足方程

由于此时有,应用定理4.2,我们有

因此,从而在上.
推论（比较原理） 设又设,且有,则在上.
证明 只须令,由的条件,显然有
,
由定理4.3,得于是,.
4.2第一边值问题解的最大模估计
考虑第一边值问题
（4.5）
定理4.4 设是问题（4.5）的解,则
（4.6）
其中.
证明 考虑辅助函数,易知,在上
,
由弱极值原理,在上的最小值必在上达到,即

于是 ,
故
推论1 问题（4.5）在中的解是唯一的.
证明 设是（4.5）的两个解,令,则满足

此时
.
推论2 问题（4.5）在中的解连续依赖于非齐次项,初值与边值.
,
,
.
由此可以看出,最大模估计就蕴涵着解的唯一性与稳定性,因此以后我们不再重复这些讨论.
现在考虑稍一般的方程的第一边值问题
（4.7）
定理 4.5 设又设是问题（4.7）的解,则
（4.8）
其中的定义如定理4.4中.
证明 令则

同时.
由比较原理,在上,由此可得（4.8）.
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