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基本不等式基础练习

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1．下列不等式正确的是
A．（B）C）（D）
2．设，若是与的等比中项，则的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．1 D．
3．已知，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知M是△ABC内的一点，且，，若△MBC, △MCA和△MAB的面积分别，则的最小值是( )A.9 B.18 C.16 D.20
5．已知函数是偶函数，则此函数的图象与ｙ轴交点的纵坐标的最大值为( )A. B.2 C.4 D.－2
6．若正实数，满足，则的最小值是 __
7．已知正数满足，则的范围是 。
8．函数的最大值是
9． 在等比数列中，，且，则的最小值为______．
10．不等式恒成立，则a的取值范围是 。
11．已知AD是ΔABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2a＋c)··＋c·＝0.(1)求角B的大小；(2)若b＝2，试求·的最小值．
13．已知向量m＝与n＝(3，sinA＋cosA)共线，其中A是△ABC的内角．(1)求角A的大小；(2)若BC＝2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．
14．在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边,且a=c+bcosC.
(1)求角B的大小;
(2)若S△ABC=,求b的最小值.

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参考答案
1．B
【解析】
试题分析：由题意，所以，则，故选B.
考点：1.等比数列的性质; 2．均值不等式的应用.
2．A
【解析】
试题分析：∵，∴A正确；∵，∴B错误；
考点：基本不等式．
3．A
【解析】
试题分析：因为，且，
所以，选A.
考点：基本不等式
4．B.
【解析】
试题分析：

是内一点，,和的面积分别为，

又

，选B.
考点：1、向量的数量积；2、正弦定理求三角形的面积；3、利用均值不等式求最值.
5．B
【解析】
试题分析：由已知是偶函数，则的奇次幂前的系数即，且，此时函数图象与轴交点的纵坐标为，当且仅当时，等号成立，即最大值为2.
考点：1、二次函数是偶函数即一次项的系数为零；2、利用重要不等式求最值.
6．当，时，的最小值为18.
【解析】
试题分析：首先可确定，即，，下面根据基本不等式就可得到结论．
考点：基本不等式求最小值．
7．4
【解析】lg 2x＋lg 8y＝xlg2＋3ylg 2＝lg 2，∴x＋3y＝1，
∴＝·(x＋3y)＝2＋≥4，当且仅当x＝，y＝时取等号．
8．
【解析】
试题分析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，

当直线，过直线与直线的交点时，目标函数取得最大6，即，即，而＝．
考点：简单线性规划的应用；基本不等式的应用．
9．
【解析】
试题分析：约束条件的可行域如图所示，

目标函数z=ax+by(a>0,b>0)过点（4,6）时为最大值12,所以4a+6b=12，得：2a+3b=6，a=，（）（2a+3b）,4+9+，（当时，等号成立），所以，即的最小值是.
考点：1.线性规划；2.基本不等式的性质.
10．1
【解析】
试题分析：设，由，则，∴=
.
考点：1、数量积的定义；2、向量的模；3、重要不等式.
11．
【解析】
试题分析：,由得.所以当且仅当取等号.二元关系不明确时，可利用消元，揭示本质，注意消元时隐含范围的挖掘.
考点：基本不等式.
12．
【解析】
试题分析：因为数列 为正项等比数列,设公比为, 则 解得: ,(舍)
又所以即
又
又
考点：等比数列的性质应用,基本不等式.
13．18
【解析】解：由题意知三角形的面积为1，x＞0，y＞0，且x+y=，∴2x+2y=1，
=（）（2x+2y）=10+,又x＞0，y＞0, 10+,当x=取等号，故填写18.
14．
【解析】解：因为，求
15．18
【解析】解:因为正实数x,y，满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是18
16．
【解析】解：函数根据二次函数的性质可知对称轴和开口方向以及定义域得到其最大值为
17．8
【解析】等比数列中
18．
【解析】
19．
【解析】由，则，即解得，当且仅当即时取“=”号，故的取值范围是。
20．（1）（2）－2
【解析】(1)因为(2a＋c)·＋c·＝0，
所以(2a＋c)accosB＋abccosC＝0，
即(2a＋c)cosB＋bcosC＝0，
所以(2sinA＋sinC)cosB＋sinBcosC＝0，
即2sinAcosB＋sin(B＋C)＝0.
因为sin(B＋C)＝sinA≠0，
所以cosB＝－，所以B＝.
(2)因为b2＝a2＋c2－2accos，所以12＝a2＋c2＋ac≥3ac，即ac≤4，
所以·＝accos＝－ac≥－2，当且仅当a＝c＝2时等号成立，
所以·的最小值为－2.
21．（1）（2），等边三角形
【解析】(1)因为m∥n，
所以sinA·(sinA＋cosA)－＝0.所以＋sin2A－＝0，
即sin2A－cos2A＝1，即sin＝1.
因为A∈(0，π)，所以2A－∈.故2A－＝，A＝.
(2)由余弦定理，得4＝b2＋c2－bc.又S△ABC＝bcsinA＝bc，
而b2＋c2≥2bcbc＋4≥2bcbc≤4(当且仅当b＝c时等号成立)，
所以S△ABC＝bcsinA＝bc≤×4＝.
当△ABC的面积取最大值时，b＝c.
又A＝，故此时△ABC为等边三角形．
22．(1)B= (2) 2
【解析】
解:(1)由正弦定理可得
sinA=sinC+sinBcosC,
又因为A=π-(B+C),
所以sinA=sin(B+C),
可得sinBcosC+cosBsinC=sinC+sinBcosC,
又sinC≠0,
即cosB=,所以B=.
(2)因为S△ABC=,
所以acsin=,
所以ac=4,
由余弦定理可知b2=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,当且仅当a=c时等号成立.
所以b2≥4,即b≥2,
所以b的最小值为2.