高中数学(北师大版)选修2-3教案：第3章-答疑解惑：回归分析.docx

回归分析答疑解惑
一.回归含义探究
“回归”一词是由英国生物学家F.Galton在争辩人体身高的遗传问题时首先提出的。
如依据遗传学的观点，子辈的身高受父辈影响，以X记父辈身高，Y记子辈身高。虽然子辈身高一般受父辈影响，但同样身高的父亲，其子身高并不全都，因此，X和Y之间存在一种相关关系。
一般而言，父辈身高者，其子辈身高也高.依此推论祖祖辈辈遗传下来,身高必定向两极分化，而事实上并非如此，明显有一种力气将身高拉向中心，即子辈的身高有向中心回归的特点,“回归”一词即源于此。
不过，现代回归分析虽然沿用了“回归”一词，但内容已有很大变化，它是一种应用于很多领域的广泛的分析争辩方法，在经济理论争辩和实证争辩中也发挥着重要作用。
二.如何生疏相关关系
争辩两个变量间的相关关系是学习本节的目的。对于相关关系我们可以从下三个方面加以生疏：
（1）相关关系与函数关系不同。函数关系中的两个变量间是一种确定性关系。例如正方形面积S与边长x之间的关系就是函数关系。即对于边长x的每一个确定的值，都有面积S的惟一确定的值与之对应。相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系。例如人的身高与年龄；商品的销售额与广告费等等都是相关关系.
（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不愿定是因果关系，也可能是伴随关系。例如有人发觉，对于在校儿童，身高与阅读技能有很强的相关关系。然而学会新词并不能使儿童马上长高，而是涉及到第三个因素——年龄，当儿童长大一些，他们的阅读力气会提高而且由于长大身高也会高些。
（3）函数关系与相关关系之间有着亲热联系，在确定的条件下可以相互转化。例如正方形面积S与其边长x间虽然是一种确定性关系，但在每次测量边长时，由于测量误差等缘由，其数值大小又表现出一种随机性。而对于具有线性关系的两个变量来说，当求得其回归直线后，我们又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的关系进行估量。
相关关系在现实生活中大量存在，从某种意义上讲，函数关系是一种抱负的关系模型，而相关关系是一种更为一般的状况。因此争辩相关关系，不仅可使我们处理更为广泛的数学应用问题，还可使我们对函数关系的生疏上升到一个新的高度。
三.生疏回归分析应留意的几个方面
现阶段所争辩的回归分析是回归分析中最简洁，也是最基本的一种类型——元线性回归分析.回归分析是通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化.
对于线性回归分析，我们要留意以下几个方面：
（1）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法。两个变量具有相关关系是回归分析的前提。
（2）散点图是定义在具有相关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的亲热程度，然后再进行相关回归分析。
（3）求回归直线方程，首先应留意到，只有在散点图大至呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义。
四．应用回归分析解决问题的一般步骤
首先,依据理论和对问题的分析推断，将变量分为自变量和因变量；其次，设法找出合适的数学方程式（即回归模型）描述变量间的关系；由于涉及到的变量具有不确定性，接着还要对回归模型进行统计检验；统计检验通过后，最终是利用回归模型，依据自变量去估量、猜想因变量.其具体步骤是：收集数据作散点图求回归直线方程利用方程进行预报.
五.析案例 探问题
案例：女高校生的身高与体重
从某高校中随机选取8名女高校生，其身高和体重数据如下表所示：
编　号
　1
　2
　3
　4
　5
　6
　7
　8
身高/cm
165
165
157
170
175
165
155
170
体重/kg
48
57
50
54
64
61
43
59
求依据一名女高校生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女高校生的体重.
解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：

2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。
3、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的四周，而不是在一条直线上如下图，所以不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。

我们可以用线性回归模型来表示：y=bx+a+，其中a和b为模型的未知参数，称为随机误差。
依据最小二乘法估量和就是未知参数a和b的最好估量，
于是有b=
所以回归方程是 .
所以，对于身高为172cm的女高校生，由回归方程可以预报其体重为
.
对以上案例提出问题
问题1.身高为172cm的女高校生的体重确定是60.316kg吗？
答：身高为172cm的女高校生的体重不愿定是60.316kg，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右。
问题2.产生随机误差项的缘由是什么？
随机误差的来源(可以推广到一般）：
(1)、其它因素的影响：影响身高 y 的因素不只是体重 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；
(2)、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；
(3)、身高 y 的观测误差.
问题3. 线性回归模型与一次函数的不同：
事实上，观看上述散点图，我们可以发觉女高校生的体重和身高之间的关系并不能用一次函数来严格刻画（由于全部的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm的3名女高校生的体重分别为48kg、57kg和61kg，假如能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在同学的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果（称为随机误差或残差变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型，其中变量中包含体重不能由身高的线性函数解释的全部部分. 当变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.