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第6讲 双曲线
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2021·甘肃二次诊断)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为 ( )
A．y＝±x B.y＝±x
C．y＝±x D.y＝±2x
解析 由于2b＝2，所以b＝1，由于2c＝2，所以c＝，所以a＝＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选B.
答案 B
2．(2022·大纲全国卷)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于 ( )
A．2 B.2
C．4 D.4
解析 由已知，得e＝＝2，所以a＝c，故b＝＝c，从而双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，由焦点到渐近线的距离为，得＝，解得c＝2，故2c＝4，故选C.
答案 C
3．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于 ( )
A．4 B.8
C．24 D.48
解析 由
可解得
又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，
则S△PF1F2＝|PF1|×|PF2|＝24.
答案 C
4．(2022·重庆卷)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为 ( )
A. B.
C．4 D.
解析 依据双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a.又(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，所以4a2＝b2－3ab，即(a＋b)(4a－b)＝0.又a＋b≠0，所以b＝4a，所以e＝＝＝＝.
答案 D
5．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为 ( )
A．[3－2，＋∞) B.[3＋2，＋∞)
C．[－，＋∞) D.[，＋∞)
解析 由条件知a2＋1＝22＝4，∴a2＝3，
∴双曲线方程为－y2＝1，
设P点坐标为(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋2，y)，
∵y2＝－1，
∴·＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋－1
＝x2＋2x－1＝(x＋)2－.
又∵x≥(P为右支上任意一点)，
∴·≥3＋2.故选B.
答案 B
二、填空题
6．(2022·四川卷)双曲线－y2＝1的离心率等于________．
解析 由双曲线方程－y2＝1，知a2＝4，b2＝1，c2＝a2＋b2＝5，∴e＝＝.
答案
7．(2022·北京卷)设双曲线C的两个焦点为(－，0)，(，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为________．
解析 由双曲线的焦点坐标知c＝，且焦点在x轴上，由顶点坐标知a＝1，由c2＝a2＋b2，得b2＝1.所以双曲线C的方程为x2－y2＝1.
答案 x2－y2＝1
8．已知双曲线－＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆－＝1的焦距等于4，则n＝________.
解析 由于双曲线的焦点(0,2)，所以焦点在y轴上，所以双曲线的方程为－＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1.所以椭圆方程为＋x2＝1，且n＞0，椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)．
答案 5
三、解答题
9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．
解 椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，
因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，
又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3.
∴＝3，得a＝3，b＝4，
∴双曲线G的方程为－＝1.
10．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为.
(1)求此双曲线的方程；
(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若＝，求△AOB的面积．
解 (1)依题意得解得
故双曲线的方程为－x2＝1.
(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设A(m,2m)，B(－n,2n)，其中m＞0，n＞0，由＝得点P的坐标为.
将点P的坐标代入－x2＝1，
整理得mn＝1.
设∠AOB＝2θ，∵tan＝2，
则tan θ＝，从而sin 2θ＝.
又|OA|＝m，|OB|＝n，
∴S△AOB＝|OA||OB|sin 2θ＝2mn＝2.
力气提升题组
(建议用时：25分钟)
11．(2022·江西卷)过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为 ( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 由双曲线方程知右顶点为(a,0)，不妨设其中一条渐近线方程为y＝x，因此可设点A的坐标为(a，b)．
设右焦点为F(c,0)，由已知可知c＝4，且|AF|＝4，即(c－a)2＋b2＝16，所以有(c－a)2＋b2＝c2，又c2＝a2＋b2，则c＝2a，即a＝＝2，所以b2＝c2－a2＝42－22＝12.故双曲线的方程为－＝1，故选A.
答案 A
12．(2021·石家庄模拟)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是 ( )
A．(1，＋∞) B.(1,2)
C．(1,1＋) D.(2,1＋)
解析 由题意易知点F的坐标为(－c,0)，A(－c，)，B(－c，－)，E(a,0)，由于△ABE是锐角三角形，所以·>0，即·＝(－c－a，)·(－c－a，－)>0，整理得3e2＋2e>e4，∴e(e3－3e－3＋1)<0，
∴e(e＋1)2(e－2)<0，解得e∈(0,2)，又e>1，
∴e∈(1,2)，故选B.
答案 B
13．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
解析 由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
∴|PQ|＝4b＝16>2a.
又∵A(5,0)在线段PQ上，∴P，Q在双曲线的右支上，
且PQ所在直线过双曲线的右焦点，
由双曲线定义知∴|PF|＋|QF|＝28.
∴△PQF的周长是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.
答案 44
14．(2022·湖南卷)如图，O为坐标原点，双曲线C1：－＝1(a1＞0，b1＞0)和椭圆C2：＋＝1(a2＞b2＞0)均过点P，且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．
(1)求C1，C2的方程；
(2)是否存在直线l，使得l与C1交于A，B两点，与C2只有一个公共点，且|＋|＝||？证明你的结论．
解 (1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c2＝2,2a1＝2，从而a1＝1，c2＝1.由于点P在双曲线x2－＝1上，所以2－＝1.故b＝3.
由椭圆的定义知
2a2＝＋＝2.
于是a2＝，b＝a－c＝2，故C1，C2的方程分别为
x2－＝1，＋＝1.
(2)不存在符合题设条件的直线．
①若直线l垂直于x轴，由于l与C2只有一个公共点，所以直线l的方程为x＝或x＝－.
当x＝时，易知A(，)，B(，－)，所以
|＋|＝2，||＝2.
此时，|＋|≠||.
当x＝－时，同理可知，|＋|≠||.
②若直线l不垂直于x轴，
设l的方程为y＝kx＋m.由
得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0.
当l与C1相交于A，B两点时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，从而x1＋x2＝，x1x2＝.
于是y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝.
由
得(2k2＋3)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.由于直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式
Δ＝16k2m2－8(2k2＋3)(m2－3)＝0.
化简，得2k2＝m2－3，因此
·＝x1x2＋y1y2＝＋＝≠0，
于是2＋2＋2·≠2＋2－2·，
即|＋|2≠|－|2，故|＋|≠||.
综合①，②可知，不存在符合题设条件的直线.
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