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直线与圆的方程
例1 如图,在Rt△ABC中,∠A为直角,AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,点T(-1,1)在直线AC上,斜边中点为M(2,0).
(例1)
(1) 求BC边所在直线的方程;
(2) 若动圆P过点N(-2,0),且与Rt△ABC的外接圆相交所得公共弦长为4,求动圆P中半径最小的圆的方程.
【分析】 第一小问中先依据直线lAB表示出直线lAC,再利用直线方程设出B,C两点的坐标,利用中点M,求出B,C两点的坐标,从而确定直线BC的方程.其次问先设出P点坐标,并用其表示圆P的方程,再利用公共弦长为4,求出横纵坐标之间的关系,最终求出半径的最小值,即可得到所求圆的方程.
【解答】 (1) 由于AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,AC与AB垂直,所以直线AC的斜率为-3.
故AC边所在直线的方程为y-1=-3(x+1),
即3x+y+2=0.
设C为(x0,-3x0-2),由于M为BC中点,
所以B(4-x0,3x0+2).
将点B代入x-3y-6=0,解得x0=-,
所以C.
所以BC边所在直线方程为x+7y-2=0.
(2) 由于Rt△ABC斜边中点为M(2,0),所以M为Rt△ABC外接圆的圆心.
又AM=2,从而Rt△ABC外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.
设P(a,b),由于动圆P过点N,所以该圆的半径r=,圆P的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
由于圆P与圆M相交,则公共弦所在直线的方程m为(4-2a)x-2by+a2+b2-r2+4=0.
由于公共弦长为4,r=2,所以M(2,0)到直线m的距离d=2,即=2,
化简得b2=3a2-4a,所以r==.
当a=0时,r取最小值为2,此时b=0,圆的方程为x2+y2=4.
【点评】 对于直线和圆的方程的求解问题,一般都接受待定系数法,即依据所给条件特征恰当的选择方程,将几何性质转化为代数的方程,解方程即可.
直线与圆、圆与圆的位置关系
例2
(例2)
(2021·江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.
(1) 若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2) 若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.
【分析】 本题主要考查待定系数法求直线与圆的方程以及直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系等基础学问,对运用数形结合、待定系数法等数学思想方法分析解决问题的力气要求较高.
【解答】 (1) 由得圆心C为(3,2),由于圆C的半径为1,所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.
明显切线的斜率确定存在,设所求圆C的切线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0.
所以=1,所以=,即2k(4k+3)=0,解得k=0或k=-.
所以所求圆C的切线方程为y=3或y=-x+3,即y=3或3x+4y-12=0.
(2) 由于圆C的圆心在直线l:y=2x-4上,所以圆心C为(a,2a-4),
则圆C的方程为(x-a)2+=1.
又由于MA=2MO,所以设M(x,y),则=2,整理得x2+(y+1)2=4,设为圆D,
所以点M既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有交点,
所以≤≤.
由5a2-8a+8≥0得a∈R,
由5a2-12a≤0得0≤a≤.
综上所述,a的取值范围为.
【点评】 本题利用条件MA=2MO求出点M的轨迹方程,发觉动点M的轨迹是一个圆,从而把圆C上存在点M使MA=2MO转化为两圆有公共点是解题的关键.
变式 (2022·南通期末)已知集合M={(x,y)|x-3≤y≤x-1},N={P|PA≥PB,A(-1,0),B(1,0)},则M∩N表示的图形的面积等于 .
【答案】 π+2
【解析】 在集合N中,设点P(x,y),由PA=PB,得(x+1)2+y2≥2[(x-1)2+y2],
整理得(x-3)2+y2≤8.
所以点P的轨迹是圆心为(3,0)的圆,
M∩N表示的图形如图阴影部分所示,
由于直线y=x-3过圆心(3,0),
圆心(3,0)到直线y=x-1的距离为=,
直线y=x-1与圆的两个交点对圆心的张角为120°,
所以阴影部分面积为×(2)2×sin120°+(2)2×=2+.
(变式)
定点、定值问题
例3 在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2=r2和直线l:x=4(其中r为常数,且0<r<4),M为l上一动点,A1,A2为圆C与x轴的两个交点,直线MA1,MA2与圆C的另一个交点分别为P,Q.
(1) 若r=2,点M的坐标为(4,2),求直线PQ的方程;
(2) 求证:直线PQ过定点,并求定点的坐标.
【分析】 第(1)小问只需要依据M,A1,A2这三点坐标,求出P,Q两点的坐标即可.
第(2)小问先设M点坐标,再依据M,A1,A2这三点坐标,求出P,Q两点的坐标得到直线PQ,再证明该直线过定点.
【解答】 (1) 当r=2,M(4,2),则A1(-2,0),A2(2,0).
直线MA1的方程为x-3y+2=0,
联立解得P.
直线MA2的方程为x-y-2=0,
联立解得Q(0,-2).
由两点坐标得直线PQ的方程为2x-y-2=0.
(2) 由题设得A1(-r,0),A2(r,0).
设M(4,t),
则直线MA1的方程为y=(x+r),
直线MA2的方程为y=(x-r),
联立
解得P.
联立
解得Q.
于是直线PQ的斜率kPQ=,
直线PQ的方程为
y-=.
由对称性可得,定点确定在x轴上.
令y=0,得x=,是一个与t无关的常数,
故直线PQ过定点.
【点评】 直线过定点问题的处理方法有两种:一是先求出直线的方程,然后再推断定点的位置,最终依据点的位置求出定点坐标,难度在于依据点坐标表示直线方程时,带了较多的参数,对含字母等式的化简有较高要求.二是先特殊,即依据特殊的直线,求出定点坐标,再用三点共线证明两个动点的直线也过该点,其次种方法运算量较小.
变式 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+1)2+y2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=1.
(变式)
(1) 若过点C1(-1,0)的直线l被圆C2截得的弦长为,求直线l的方程.
(2) 设动圆C同时平分圆C1、圆C2的周长.
①求证:动圆圆心C在一条定直线上运动;
②动圆C是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.
【分析】 本题主要考查点到直线的距离、直线与圆的方程、直线被圆截得的弦长等基础学问,曲线过定点等典型的恒成立问题,以及数形结合、待定系数法等数学思想和方法.
【解答】 (1) 明显直线l的斜率确定存在,设直线l的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0.
由于直线l被圆C2截得的弦长为,圆C2的半径为1,
所以圆心C2(3,4)到l:kx-y+k=0的距离为==,
化简得12k2-25k+12=0,解得k=或k=.
所以直线l的方程为4x-3y+4=0或3x-4y+3=0.
(2) ①设圆心C(x,y),由题意,得CC1=CC2,即=,化简得x+y-3=0,
即动圆圆心C在定直线x+y-3=0上运动.
②设圆C过定点,则C(m,3-m),动圆C的半径为=.
于是动圆C的方程为(x-m)2+(y-3+m)2=1+(m+1)2+(3-m)2,
整理得x2+y2-6y-2-2m(x-y+1)=0.
由
得或
所以定点的坐标为
,.
【点评】 曲线过定点一般转化为恒成立问题解决,如本题中,“无论m为何值,圆(x-m)2+(y-3+m)2=1+(m+1)2+(3-m)2过定点”转化为x2+y2-6y-2-2m(x-y+1)=0恒成立,因此只需m的系数为零即可(与m无关).
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