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第四次月考数学文试题
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则 ( )
A． B．{ } C．{ } D．{}
2.命题“∀，||”的否定是( )
A．∀， || B．∀， ||
C．∃，|| D．∃，||
3．下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )
A． B． C． D． ||
4．设，，，则( )
A． B． C． D．
5．已知函数，在下列区间中，包含的零点的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，4) D．(4，＋∞)
6．设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．是偶函数 B．||是奇函数
C．||是奇函数 D．||是奇函数
7. 函数的图象大致是 ( )
A． B． C． D．
8．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的( )
A．充分必要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件
9．将函数y＝sin x的图像向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图像，则下列说法正确的是( )
A．y＝f(x)是奇函数
B．y＝f(x)的周期为π
C．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称
D．y＝f(x)的图像关于点对称
10.直线与曲线相切，则的值为( )
A．－2 B．－1 C．－ D．1
11．已知函数是定义在上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数满足, 则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数,若,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将正确答案填在答题卷上对应题号
的横线上.
13．＋log3＋log3＝________.
14．设,,则的值是________.
15.已知一元二次方程有两个根（为实数），一个根在区间内，另一个根在区间内，则点对应区域的面积为________．
16. 函数的图象与函数（）的图象全部交点的横坐标之和等于______．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17.（本小题满分12分）
设命题:实数满足,其中,命题:实数满足.
(1)若且为真,求实数的取值范围;
(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
18．（本小题满分12分）
已知函数．
(1)求的值；
(2)求函数的最小正周期及单调递增区间．
19．（本小题满分12分）
△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cos A＝，B＝A＋.
(1)求b的值；
(2)求△ABC的面积．
20．（本小题满分12分）
已知函数＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝在点(，)处的切线垂直于直线.
(1)求的值；
(2)求函数的单调区间与极值．
21．（本小题满分12分）
已知函数.
(1)求在区间[－2，1]上的最大值；
(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；
(3)问过点A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线相切？(只需写出结论)
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，假如多做，则按所作的第一题计分，作答时请写清题号.
22.选修4－1：几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，的角平分线的延长线交它的外接圆于点
（1）证明：∽△;
（2）若的面积，求的大小.
23.选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为（1，－5），点M的极坐标为（4，），若直线过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，4为半径。
（1）求直线的参数方程和圆C的极坐标方程。
（2）试判定直线与圆C的位置关系。
24.选修4—5，不等式选讲（本小题满分10分）
已知函数
（1） 解关于的不等式
（2）若函数的图象恒在函数的上方，求实数的取值范围。
参考答案
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1～5 ＢＣＢＤＣ 6～10 ＣＡＡＤＢ 11～12 ＣＤ
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将正确答案填在答题卷上对应题号
的横线上.
13． ，14． ， 15. ， 16. 12
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）
解：（1)当时，，，
又为真，所以真且真，
由，得
所以实数的取值范围为………………………………6分
(2) 由于是的充分不必要条件，
所以是的充分不必要条件，
又，，
所以，解得
所以实数的取值范围为………………………………12分
18．（本小题满分12分）
解：方法一：
(1)f＝2cos
＝－2cos＝2. ………………6分
(2)由于f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x
＝sin 2x＋cos 2x＋1
＝sin＋1，
所以T＝＝π，故函数f(x)的最小正周期为π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z. ……………12分
方法二：f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x
＝sin 2x＋cos 2x＋1
＝sin＋1.
(1)f＝sin＋1
＝sin＋1
＝2. ………………………………6分
(2)由于T＝＝π，所以函数f(x)的最小正周期为π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.…………………12分
19．（本小题满分12分）
解：(1)在△ABC中，
由题意知，sin A＝＝.
又由于B＝A＋，
所以sin B＝sin＝cos A＝.
由正弦定理可得，b＝＝＝3. ………………………6分
(2)由B＝A＋得cos B＝cos＝－sin A＝－.
由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)，
所以sin C＝sin[π－(A＋B)]
＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×
＝.
因此△ABC的面积S＝absin C＝×3×3×＝. …………………12分
20．（本小题满分12分）
解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，
由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x
知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝. ………………………………5分
(2)由(1)知f(x)＝＋－ln x－，
则f′(x)＝.令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.
由于x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．
当x∈(0，5)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，5)上为减函数；
当x∈(5，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(5，＋∞)上为增函数．
由此知函数f(x)在x＝5时取得微小值f(5)＝－ln 5,无极大值. …………………12分
21．（本小题满分12分）
解：(1)由f(x)＝2x3－3x得f′(x)＝6x2－3.
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝.
由于f(－2)＝－10，f＝，f＝－，f(1)＝－1，
所以f(x)在区间[－2，1]上的最大值为f＝.…………………3分
(2)设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，
则y0＝2x－3x0，且切线斜率为k＝6x－3，
所以切线方程为y－y0＝(6x－3)(x－x0)，
因此t－y0＝(6x－3)(1－x0)，
整理得4x－6x＋t＋3＝0，
设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，
则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”．
g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)．
当x变化时，g(x)与g′(x)的变化状况如下：
x
(－∞，0)
0
(0，1)
1
(1，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
t＋3
t＋1
所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的微小值．
结合图像知，当g(x)有3个不同零点时，
y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．…………………9分
(3)过点A(－1，2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切；
过点B(2，10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切；
过点C(0，2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．…………………12分
22．（本小题满分10分）
证明：（Ⅰ）由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.
由于∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，
所以∠AEB＝∠ACD.
故△ABE∽△ADC. ………………………………5分
（Ⅱ）由于△ABE∽△ADC，所以，
即AB·AC＝AD·AE.
又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，
故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE.
则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，
所以∠BAC＝90°. ………………………10分
23．（本小题满分10分）
解：（1）直线的参数方程（为参数）
又 M点的直角坐标为（0，4） 圆C半径为4
所以圆 C方程为 ，把 代入
得圆C的极坐标方程为 ………………………………5分
（2）直线的一般方程为
圆心M到的距离为
∴直线与圆C相离。 ………………………………………10分
24．（本小题满分10分）
解:（1）由， 得
当时无解
当时， ， 即
∴不等式解集为（） （）……………………5分
（2）图象恒在图象上方，故
设
作出图象得出当时，取得最小值4，故时
图象在图象上方。 ……………………………………10分
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