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课时提升作业(四十五)
一、选择题
1.设a,b,c是空间三条直线,α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是( )
(A)当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β
(B)当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b
(C)当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β
(D)当b⊂α，且cα时，若c∥α，则b∥c
2.（2021·珠海模拟）如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB=90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在的平面，那么( )
(A)PA=PB＞PC
(B)PA=PB＜PC
(C)PA=PB=PC
(D)PA≠PB≠PC
3.设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
4.设X，Y，Z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形，使“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”为真命题的是( )
①X，Y，Z是直线；②X，Y是直线，Z是平面；③Z是直线，X，Y是平面；④X，Y，Z是平面.
(A)①② (B)①③ (C)②③ (D)③④
5.（2021·淮南模拟）如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，给出下列结论：
①PB⊥AD；
②平面PAB⊥平面PBC；
③直线BC∥平面PAE；
则全部正确结论的个数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
6.已知三个不同的平面α，β，γ,a,b,c分别为平面α，β，γ内的直线，若β⊥γ且α与γ相交但不垂直，则下列命题为真命题的个数为( )
①任意b⊂β,b⊥γ；②任意b⊂β，b∥γ；③存在a⊂α，a⊥γ；
④存在a⊂α，a∥γ；⑤任意c⊂γ，c∥α；⑥存在c⊂γ,c⊥β.
(A)2个 (B)3个 (C)5个 (D)6个
7.（力气挑战题）如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点.现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足.设AK=t，则t的取值范围是( )
(A) (B)
(C) (D)
二、填空题
8.设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：
①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；
②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；
③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；
④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.
其中正确命题的序号是___________.
9.已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α;④α∥β.当满足条件__________时，有m⊥β.（填所选条件的序号）
10.(2021·惠州模拟)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF=__________时，CF⊥平面B1DF.
11.(2021·盐城模拟)如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起.下列说法正确的是__________.(填上全部正确的序号)
①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC;
②不论D折至何位置都有MN⊥AE;
③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB.
三、解答题
12.（2021·湛江模拟）在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC,AB∥CD,E为PD中点，F为PC中点.
(1)求证:AE∥平面PBC.
(2)求证:AE⊥平面PDC.
13.(2021·珠海模拟)如图,直角梯形ABCD中，AB∥CD,AD⊥AB,CD=2AB=4,
E为CD的中点，将△BCE沿BE折起，使得CO⊥DE,其中点O在线段DE内.
(1)求证：CO⊥平面ABED.
(2)问∠CEO(记为θ)多大时，三棱锥C-AOE的体积最大?最大值为多少?
14.（力气挑战题）如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且(0<λ<1).
(1)推断EF与平面ABC的位置关系并赐予证明.
(2)是否存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD？假如存在，求出λ的值；假如不存在，说明理由.
答案解析
1.【解析】选C.当b⊂α时,若α⊥β，b不愿定垂直于β.故C错误.
2.【解析】选C.连接CM，∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，
∴BM=AM=CM.又PM⊥平面ABC，
∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC,故PA=PB=PC.
【误区警示】本题易由于作图不精确，凭借直观感觉认为PC最长，从而误选B.
3.【解析】选A.面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
由于直线l⊂α，且l⊥β,
所以由判定定理得α⊥β.
所以直线l⊂α，且l⊥β⇒α⊥β.
若α⊥β，直线l⊂α，则直线l不愿定垂直于β,
所以“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件.
4.【解析】选C.由垂直于同一个平面的两条直线平行，垂直于同一条直线的两个平面平行，可知②③正确.
5.【解析】选A.∵AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，∴①不成立；又易知平面PAB⊥平面PAE，∴平面PAB⊥平面PBC不成立，即②不成立；∵BC∥AD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，即③不成立.
6.【解析】选A.④a平行于α与γ的交线即可；⑥c垂直于β与γ的交线即可.
7.【思路点拨】由面面垂直的性质可知DK⊥平面ABC，可通过移动F点的位置，探究AK的取值范围.
【解析】选B.如图，过D作DG⊥AF，垂足为G，连接GK.∵平面ABD⊥平面ABC，DK⊥AB，∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF.∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.
简洁得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，
当F接近C点时，K接近AB的四等分点，
∴t的取值范围是
【变式备选】点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列三个命题中正确的个数是( )
①三棱锥A-D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1.
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
【解析】选C.由于BC1∥AD1，所以直线BC1∥平面ACD1，则点P到平面ACD1的距离为定值，所以为定值，故①正确；又平面A1C1B∥平面ACD1，A1P⊂平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1.明显③错，故选C.
8.【解析】①错误，l可能在平面α内；②正确；③错误，直线可能与平面相交；④正确.故填②④.
答案：②④
9.【解析】若m⊥α，α∥β，则m⊥β，故填②④.
答案：②④
10.【解析】由题意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.
要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可.
令CF⊥DF，设AF=x，则A1F=3a-x.
由Rt△CAF∽Rt△FA1D，
得即
整理得x2-3ax+2a2=0，
解得x=a或x=2a.
答案：a或2a
11.【解析】将△ADE沿AE折起后所得图形如图,取DE中点P,EC中点Q,连接PM，PQ，QN，DC.
则PMNQ
∴PMNQ，∴四边形PMNQ为平行四边形，
∴MN∥PQ.
又MN平面DEC，PQ⊂平面DEC，
∴MN∥平面DEC，
故①正确.
又AE⊥ED，AE⊥EC，DE∩EC=E，
∴AE⊥平面DEC，
∴AE⊥PQ，∴AE⊥MN，
故②正确.
由MN∥PQ，PQ与EC相交知MN与EC不平行，
从而MN与AB不会平行.
答案：①②
12.【证明】(1)连接EF,由于E为PD中点,由于F为PC中点，
则EF∥CD，由于AB∥CD,
所以有EF∥AB且EF=AB,则四边形ABFE是平行四边形.
所以AE∥BF.由于AE不在平面PBC内，BF在平面PBC内，所以AE∥平面PBC.
(2)由于AB⊥平面PBC,AB∥CD,
所以CD⊥平面PBC.
而BF在平面PBC内，所以CD⊥BF.
又△PBC为正三角形,F为PC中点，所以BF⊥PC.
又PC∩CD=C,PC,CD在平面PDC内,
所以BF⊥平面PDC.
又AE∥BF,所以AE⊥平面PDC.
【变式备选】已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1=2，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点.
求证：（1）DE∥平面ABC.
（2）B1F⊥平面AEF.
【证明】（1）取AB的中点G，连接DG，GC，
则DGEC
∴DGEC，
∴四边形DECG是平行四边形，
∴DE∥GC.
又GC⊂平面ABC，DE平面ABC，
∴DE∥平面ABC.
（2）∵△ABC为等腰直角三角形，F为BC的中点，
∴BC⊥AF.
又B1B⊥平面ABC，∴AF⊥B1B.
又B1B∩BC=B，
∴AF⊥平面BB1F，∴B1F⊥AF.
∵AB=AA1=2，易求得
∴B1F2+EF2=B1E2，∴B1F⊥EF，
又AF∩EF=F，∴B1F⊥平面AEF.
13.【解析】(1)在直角梯形ABCD中,
CD=2AB，E为CD的中点,
则AB=DE.又AB∥DE,
AD⊥AB,可得BE⊥CD.
在四棱锥C-ABEO中，BE⊥DE，BE⊥CE，CE∩DE=E，
CE，DE⊂平面CDE，则BE⊥平面CDE.
由于CO⊂平面CDE，所以BE⊥CO.
又CO⊥DE,且BE,DE是平面ABED内两条相交直线,
故CO⊥平面ABED.
(2)由(1)知CO⊥平面ABED,
则三棱锥C-AOE的体积
由直角梯形ABCD中，
CD=2AB=4，E为CD的中点，
得三棱锥C-AOE中,
CE=2,OE=CEcos θ=2cos θ,
OC=CEsin θ=2sin θ,
当且仅当sin 2θ=1,θ∈
即时取等号,
（此时O落在线段DE内）
故当时，三棱锥C-AOE的体积最大，最大值为
14.【思路点拨】(1)结合图形猜想EF与平面ABC垂直.由知EF∥CD，由∠BCD＝90°及AB⊥平面BCD可证得结论成立.
(2)由EF∥CD可知问题相当于过点B作一个平面与平面ACD垂直，而这样的平面确定存在，故只需计算出λ即可.
【解析】(1)EF⊥平面ABC.
证明如下：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
在△BCD中，∠BCD＝90°，∴BC⊥CD.
又AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
在△ACD中，(0<λ<1)，
∴EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.
(2)存在.∵CD⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，
∴BE⊥CD，
故要使平面BEF⊥平面ACD，只需证BE⊥AC.
在Rt△ABD中，∠ADB＝60°，
∴AB＝BDtan 60°
则
当BE⊥AC时，
则即时，BE⊥AC.
又BE⊥CD，AC∩CD＝C，
∴BE⊥平面ACD.
∵BE⊂平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ACD.
所以存在时，平面BEF⊥平面ACD.
【变式备选】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
∠DAB=60°的菱形，侧面PAD为等边三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)求证：AD⊥PB.
(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？假如存在，请说明F点的位置；假如不存在，请说明理由.
【解析】(1)如图，取AD的中点G，连接PG，BG，BD.
∵△PAD为等边三角形，
∴PG⊥AD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
可得PG⊥平面ABCD.
在△ABD中，∠DAB=60°,
AD=AB,
∴△ABD为等边三角形，
∴BG⊥AD.又BG∩PG=G,
∴AD⊥平面PBG,∴AD⊥PB.
(2)F为PC中点时，平面DEF⊥平面ABCD.
理由如下：连接CG,DE,且CG与DE相交于点H，
在△PGC中作HF∥PG，交PC于点F，连接DF，EF，
则FH⊥平面ABCD,
∴平面DEF⊥平面ABCD.
∵菱形ABCD中，G，E分别为AD，BC的中点，即得知H是CG的中点，∴F是PC的中点，
∴在PC上存在一点F，即为PC的中点，使得平面DEF⊥平面ABCD.
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