资源描述
解析几何初步
一.选择题
1．圆x2+y2－4x=0在点P（1，）处的切线方程为
Ax+y－2=0 Bx+y－4=0 Cx－y+4=0 Dx－y+2=0
2．由点M(5,3)向圆所引切线长是（ ）
A． B. C. 51 D . 1
3．在圆上,与直线4x+3y-12=0的距离最小的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
4．若圆（x－3）2＋（y+5）2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y=2的距离等于1，则半径r的范围是
A（4，6） B［4，6） C（4，6］ D［4，6］
5．已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为｜a｜、｜b｜、｜c｜的三角形（ ）
A是锐角三角形 B是直角三角形 C是钝角三角形 D不存在
6．若动圆与圆相外切,且与直线x=2相切,则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A. y2+12x-12=0 B. y2-12x+12=0 C. y2+8x=0 D. y2-8x=0
7．（06年北京）平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是（ ）
A.一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆 D. 双曲线的一支
8．（06年湖北）已知平面区域由以、、为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域 上有无穷多个点可使目标函数取得最小值，则 （ ）
A. B. C. D. 4
９．（05年天津）将直线沿轴向左平移1个单位，所得直线与圆 相切，则实数的值为 （ ）
A.－3或7 B.－2或8 C.0或10 D.1或11
10. “m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的( )
A.充分必要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
二.填空题
11．圆心在直线2x－y－7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，－4）、B（0，－2），则圆C的方程为____________
12．过点（1，）的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝ ____
13．两圆x2+y2=16 及（x-4）2+（y+3）2=R（R>0）在交点处的切线相互垂直,则R=__________
14．已知P（1，2）为圆x2+y2=9内肯定点，过P作两条相互垂直的任意弦交圆于点B、C，则BC中点M的轨迹方程为____________
三.解答题
15．方程ax2+ay2－4（a－1）x+4y=0表示圆，求a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程
16．一个圆的圆心在直线x-y-1=0上,与直线4x+3y+14=0相切,在3x+4y+10=0上截得弦长为6,求圆的方程
17．已知圆C: x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线L,使以L被圆C截得弦AB为直径的圆经过原点?若存在,写出直线的方程;若不存在,说明理由
18．求圆C1: 与圆C2: 的公共弦所在直线被圆C3:所截得的弦长
19．在平面直角坐标系中，已知矩形ＡＢＣＤ的长为２，宽为１，ＡＢ、ＡＤ边分别在ｘ轴、ｙ轴的正半轴上，Ａ点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使Ａ点落在线段ＤＣ上．
（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为ｋ，试写出折痕所在直线的方程；
（Ⅱ）求折痕的长的最大值．
O
(A)
B
C
D
X
Y
参考答案：
1．解法一：x2+y2－4x=0， y=kx－k+x2－4x+（kx－k+）2=0
该二次方程应有两相等实根，即Δ=0，解得k=
∴y－=（x－1），即x－y+2=0
解法二：∵点（1，）在圆x2+y2－4x=0上，
∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直
又∵圆心为（2，0），∴·k=－1
解得k=，∴切线方程为x－y+2=0
答案：D
2．答案: A
3．答案: B
4．答案：A
5．答案：B 解：由题意得=1，即c2=a2+b2，∴由｜a｜、｜b｜、｜c｜构成的三角形为直角三角形
6．答案: A
7．答案：A 解：由过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，所以AC始终在与直线AB垂直的平面内，再由两平面有且只有一条交线，所以轨迹是一个直线..
8．答案：C 解：由、、的坐标位置知，所在的区域在第一象限，故.由得，它表示斜率为.
（1）若，则要使z取得最小值，必需使最小，此时需，即1；
（2）若，则要使z取得最小值，必需使最大，此时需，即2，与冲突.综上可知，1.
9．答案：A 解：由题意可知：直线沿轴向左平移1个单位后的直线为：
.已知圆的圆心为，半径为.直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，因而有，得或7.
10.答案：B 解：当时两直线斜率乘积为，从而可得两直线垂直，当时两直线一条斜率为0，一条斜率不存在，但两直线仍旧垂直.因此是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件.
11．答案：（x－2）2+（y+3）2=5 解：∵圆C与y轴交于A（0，－4），B（0，－2），∴由垂径定理得圆心在y=－3这条直线上又已知圆心在直线2x－y－7=0上，∴联立y=－3，2x－y－7=0 解得x=2，
∴圆心为（2，－3），半径r=|AC|==
∴所求圆C的方程为（x－2）2+（y+3）2=5
12．答案：
13．答案：3 提示：用勾股定理推导出所求直线垂直于CP
14．答案：x2+y2－x－2y－2=0 解：Rt△OMC中，|MP|=|BC|（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）故所求轨迹方程为x2+y2－x－2y－2=0
15．解：（1）∵a≠0时，方程为［x－］2+（y+）2=，
由于a2－2a+2＞0恒成立，∴a≠0且a∈R时方程表示圆
（2）r2=4·=4［2(－)2+］，
∴a=2时，rmin2=2
此时圆的方程为（x－1）2+（y－1）2=2
16．解:由圆心在直线x-y-1=0上,可设圆心为（a,a-1）,半径为r,由题意可得
,经计算得a=2,r=5
所以所求圆的方程为（x-2）2+（y-1）2=25
17．解:设直线L的斜率为１，且L的方程为y=x+b,则
消元得方程２x2+（2b+2）x+b2+4b-4=0,设此方程两根为x1,x2，则x1＋x2＝－（b+1）,y1+y2= x1＋x2+2b=b-1,则ＡＢ中点为，又弦长为＝，由题意可列式＝解得b=1或b=-9,经检验b=-9不合题意．所以所求直线方程为y=x+1
18．解: 圆C1与圆C2的公共弦所在直线方程为:
即x+y-1=0
圆心C3到直线x+y-1=0的距离.
所以所求弦长为.
19．.解(I) （1）当时,此时A点与D点重合, 折痕所在的直线方程
（2）当时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1)
所以A与G关于折痕所在的直线对称，有
故G点坐标为，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为，折痕所在的直线方程，即
由（1）（2）得折痕所在的直线方程为：k=0时，；时
（II）(1)当时，折痕的长为2;
(1) 当时, 折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为
令解得 ∴
所以折痕的长度的最大值2
A
60º
y
x
M
Q
P
O
【挑战自我】
如图，在直角坐标系xOy中，射线OA在第一象限内，且与x轴的正向成定角60º，动点P在射线OA上运动，动点Q在y轴正半轴上运动.△POQ的面积为定值.
（1）求线段PQ的中点M的轨迹C的方程；
（2）R1、R2是曲线C上的动点，R1、R2到y轴的距离之和为1，设u为R1、R2到x轴距离之积，是否存在最大的常数m，使u≥m恒成立？假如存在，求出这个m的值，假如不存在，请说明理由.
解：（1）依题意，射线OA的方程为y=,
设M（x,y），P（t,）(t>0)，则Q点的坐标为（2x-t，2y-），
∵，即.
又Q点在y轴上，∴2x-t=0,即t=2x，于是：x|y-|=.
∵点P在∠AOQ的内部，∴ y-＞0，且x>0，y>0.
因此有 ，这就是M点的轨迹方程.
（2）设R1（x1,y1）,R2(x2,y2)，则x1+x2=1，y1y2=u
∴ u=y1y2=3(=3
∵x1>0，x2>0，x1+x2=1，∴0
于是 ，,∴
因此，当时，u≥m恒成立，故m的最大值为.
【答案及点拨】
演化1：直线BC的斜率kBC＝－，
∵直线AC与直线BC垂直，∴直线AC的方程为y－4＝（－5）即3－2y－7＝0
∵∠ABC＝45°，∴
kAB＝－5或kAB＝
∴AB边所在的直线方程为:y－4＝（－5）或y－4＝－5（－5）
即－5y＋15＝0或5＋y－29＝0
演化2：由ÞA(─1,0)又kAB=1,
∵ x轴是∠A的平分线, ∴kAC=─1，∴AC: y=─(x+1),
又kBC=─2, ∴BC: y─2=─2(x─1)
由ÞC(5,─6)
演化3 ：由题意知f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0b＞0，a+b+1＜0，a+b+2＞0
如图所示 A（－3，1）、B（－2，0）、C（－1，0）
又由所要求的量的几何意义知，值域分别为
（1）（，1）；（2）（8，17）；（3）（－5，－4）
演化4: 已知圆方程化为: ,其圆心P（1,0）,半径为1
设所求圆的圆心为C（a,b）,
则半径为,
由于两圆外切, ,
从而1+ (1)
又所求圆与直线：相切于M(),
直线,于是,
即 （2）
将（2）代入（1）化简,得a2-4a=0, a=0或a=4
当a=0时,,所求圆方程为
当a=4时,b=0,所求圆方程为
演化5：由已知可得圆C：关于x轴对称的圆C‘的方程为，其圆心C‘（2，-2），则与圆C’相切，
设: y-3=k(x+3), ，
整理得12k2+ 25k+12=0, 解得或，
所以所求直线方程为y-3= (x+3)或 y-3= (x+3)，
即 3x+4y-3=0或4x+3y+3=0
演化6:（1）问题可转化为求圆上一点到原点连线的斜率的最大值, 由图形性质可知, 由原点向圆作切线,其中切线斜率的最大值即为的最大值
设过原点的直线为y=kx,即kx-y=0,
由,解得或
（2）x,y满足,
另法：应用线性规划的思路，如图， 2x-y的最小值或最大值就在直线2x-y＝b与圆的切点处达到.
由,解得或
演化7：建立坐标系如图所示，设|AB|=2a,则A(－a,0）,B(a,0)
设M(x,y）是轨迹上任意一点
则由题设，得=λ,坐标代入，得=λ,化简得
(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0
(1)当λ=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴)
(2)当λ≠1时，点M的轨迹方程是x2+y2+x+a2=0 点M的轨迹是以(－，0）为圆心，为半径的圆
演化8 设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|
又由于R是弦AB的中点，依垂径定理 在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)
又|AR|=|PR|=
所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0
因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动
设Q(x,y)，R(x1,y1)，由于R是PQ的中点，所以x1=,
代入方程x2+y2－4x－10=0,得－10=0
整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
