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二十三 磁场对运动电荷的作用
1．如图所示，一带电塑料小球质量为m，用丝线悬挂于O点，并在竖直平面内摇摆，最大摆角为60°，水平磁场垂直于小球摇摆的平面．当小球自左方摆到最低点时，悬线上的张力恰为零，则小球自右方最大摆角处摆到最低点时悬线上的张力为( )
A．0 B．2mg
C．4mg D．6mg
答案：C 解析：设小球自左方摆到最低点时速度为v，则mv2＝mgL(1－cos 60°)，此时qvB－mg＝m，当小球自右方摆到最低点时，v大小不变，洛伦兹力方向发生变化，T－mg－qvB＝m，得T＝4mg，故C正确．
2．带电质点在匀强磁场中运动，某时刻速度方向如图所示，所受的重力和洛伦兹力的合力恰好与速度方向相反，不计阻力，则在此后的一小段时间内，带电质点将( )
A．可能做直线运动 B．可能做匀减速运动
C．肯定做曲线运动 D．可能做匀速圆周运动
答案：C 解析：带电质点在运动过程中，重力做功，速度大小和方向发生变化，洛伦兹力的大小和方向也随之发生变化，故带电质点不行能做直线运动，也不行能做匀减速运动或匀速圆周运动，C正确．
3．如图所示，M、N和P是以MN为直径的半圆弧上的三点，O为半圆弧的圆心，在O点存在垂直纸面对里运动的匀速电子束．∠MOP＝60°，在M、N处各有一条长直导线垂直穿过纸面，导线中通有大小相等的恒定电流，方向如图所示，这时O点的电子受到的洛伦兹力大小为F1.若将M处长直导线移至P处，则O点的电子受到的洛伦兹力大小为F2.那么F2与F1之比为( )
A．∶1 B．∶2
C．1∶ 1 D．1∶2
答案：B 解析：长直导线在M、N、P处时在O点产生的磁感应强度B大小相等，M、N处的导线在O点产生的磁感应强度方向都向下，合磁感应强度大小为B1＝2B，P、N处的导线在O点产生的磁感应强度夹角为60°，合磁感应强度大小为B2＝B，可得B2∶B1＝∶2，又由于F洛＝qvB，所以F2∶F1＝∶2，选项B正确．
4．(多选)如图所示，在边界上方存在着垂直纸面对里的匀强磁场，有两个电荷量、质量均相同的正、负粒子(不计重力)，从边界上的O点以相同速度先后射入磁场中，入射方向与边界成θ角，则正、负粒子在磁场中( )
A．运动轨迹的半径相同
B．重新回到边界所用时间相同
C．重新回到边界时速度大小和方向相同
D．重新回到边界时与O点的距离相等
答案：ACD 解析：洛伦兹力充当带电粒子做圆周运动的向心力，qvB＝m，带电粒子做圆周运动的半径r＝，依据题意，正、负粒子在磁场中运动的轨道半径相同，选项A正确；依据qvB＝mr，可得带电粒子做圆周运动的周期T＝，而正粒子在磁场中运动的时间为t1＝T，而负粒子在磁场中运动的时间为t2＝T，两时间并不相同，选项B错误；正、负带电粒子重新回到边界时速度大小和方向是相同的，选项C正确；两粒子重新回到边界时与O点的距离都是2rsin θ，选项D正确．
5．(2021·马鞍山二检)如图所示，abcd为一正方形边界的匀强磁场区域，磁场边界边长为L，三个粒子以相同的速度从a点沿ac方向射入，粒子1从b点射出，粒子2从c点射出，粒子3从cd边垂直于磁场边界射出，不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用．依据以上信息，可以确定( )
A．粒子1带负电，粒子2不带电，粒子3带正电
B．粒子1和粒子3的比荷之比为2∶1
C．粒子1和粒子3在磁场中运动的时间之比为4∶1
D．粒子3的射出位置与d点相距
答案：B 解析：依据左手定则可知粒子1带正电，粒子2不带电，粒子3带负电，选项A错误；粒子1在磁场中的轨迹为四分之一圆周，半径r1＝L，时间t1＝T＝×＝，粒子3在磁场中的轨迹为八分之一圆周，半径r3＝L，时间t3＝T＝×＝，则t1＝t3，选项C错误；由r＝可知粒子1和粒子3的比荷之比为r3∶r1＝2∶1，选项B正确；粒子3的射出位置与d点相距(－1)L，选项D错误．
6．两个电荷量分别为q和－q的带电粒子a和b分别以速度va和vb射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为30°和60°，磁场宽度为d，两粒子同时由A点动身，同时到达B点，已知A、B连线与磁场边界垂直，如图所示，则( )
A．两粒子的轨道半径之比Ra∶Rb＝∶1
B．两粒子的质量之比ma∶mb＝1∶2
C．a粒子带正电，b粒子带负电
D．两粒子的速度之比va∶vb＝1∶2
答案：B 解析：由几何关系可知，Ra∶Rb＝∶3，选项A错误；由于两粒子的运动时间相等，由t＝×可知ma∶mb＝1∶2，选项B正确；由左手定则可判定a粒子带负电，b粒子带正电，选项C错误；依据R＝，可推断va∶vb＝2∶3，选项D错误．
7．如图所示，正方形区域ABCD中有一垂直于纸面对里的匀强磁场，一个α粒子(不计重力)以速度v从AB边的中点M沿既垂直于AB边又垂直于磁场的方向射入磁场，正好从AD边的中点N射出．若将磁感应强度B变为原来的2倍，其他条件不变，则这个α粒子射出磁场的位置是( )
A．A点 B．N、D之间的某一点
C．C、D之间的某一点 D．B、C之间的某一点
答案：A 解析：α粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，当α粒子垂直于AB边从中点M射入时，又从AD边的中点N射出，则A点为圆心，且R＝，当磁感应强度加倍时，半径变为原来的，则A正确．
8．如图所示，ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，磁场垂直于纸面对外，比荷为的电子以速度v0从A点沿AB方向射入，欲使电子能经过BC边，则磁感应强度B的取值应为( )
A．B> B．B>
C．B< D．B>
答案：C 解析：由题意，如图所示，电子正好经过C点，此时圆周运动的半径R＝＝，要想电子从BC边经过，圆周运动的半径要大于，由带电粒子在磁场中运动的公式r＝，有<，即B<，C正确．
9．(多选)如图所示为圆柱形区域的横截面，在没有磁场的状况下，带电粒子(不计重力)以某一初速度沿截面直径方向入射，穿过此区域的时间为t.在该区域加沿圆柱轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为B，带电粒子仍以同一初速度沿截面直径入射，粒子飞出此区域时，速度方向偏转60°角，依据上述条件可求下列物理量中的哪几个( )
A．带电粒子的比荷
B．带电粒子在磁场中运动的周期
C．带电粒子在磁场中运动的半径
D．带电粒子的初速度
答案：AB 解析：设磁场区域的半径为R，不加磁场时，带电粒子速度的表达式为v＝；由题图可知带电粒子在磁场中的运动半径r＝Rcot 30°＝R；由粒子在磁场中运动的轨道半径公式可得r＝；由以上三式可得＝，周期T＝＝＝πt.由此可知正确选项为A、B．
10．如图所示，中轴线PQ将矩形区域MNDC分成上、下两部分，上部分布满垂直纸面对外的匀强磁场，下部分布满垂直纸面对里的匀强磁场，磁感应强度皆为B．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从P点进入磁场，速度与边MC的夹角θ＝30°.MC边长为a，MN边长为8a，不计粒子重力．求：
(1)若要求该粒子不从MN边射出磁场，其速度最大是多少？
(2)若要求该粒子恰从Q点射出磁场，其在磁场中的运行时间最少是多少？
答案：(1) (2)
解析：(1)设该粒子恰不从MN边射出磁场时的轨迹半径为r，由几何关系得：
rcos 60°＝r－a，解得r＝a
又由qvB＝m
解得最大速度v＝
(2)由几何关系知，轨迹半径为r时，粒子每经过分界线PQ一次，在PQ方向前进的位移为轨迹半径r的倍
设粒子进入磁场后第n次经过PQ时恰好到达Q点
有n×r＝8a
解得n＝＝4.62
n所能取的最小自然数为5
粒子做圆周运动的周期为T＝
粒子每经过PQ分界线一次用去的时间为t＝T＝
粒子到达Q点的最短时间为tmin＝5t＝
11．如图所示，在一个边长为a的正六边形区域内存在磁感应强度为B、方向垂直于纸面对里的匀强磁场．三个相同带正电的粒子，比荷为，先后从A点沿AD方向以大小不等的速度射入匀强磁场区域，粒子在运动过程中只受磁场力作用．已知编号为①的粒子恰好从F点飞出磁场区域，编号为②的粒子恰好从E点飞出磁场区域，编号为③的粒子从ED边上的某一点垂直边界飞出磁场区域．求：
(1)编号为①的粒子进入磁场区域的初速度大小；
(2)编号为②的粒子在磁场区域内运动的时间；
(3)编号为③的粒子在ED边上飞出的位置与E点的距离．
答案：(1) (2)
(3)(2－3)a
解析：(1)设编号为①的粒子在正六边形区域磁场中做圆周运动的半径为r1，初速度大小为v1，qv1B＝m
由几何关系可得r1＝
解得v1＝
(2)设编号为②的粒子在正六边形区域磁场中做圆周运动的半径为r2，线速度大小为v2，周期为T2，则
qv2B＝m，T2＝
解得T2＝
由几何关系可得，粒子在正六边形区域磁场运动的过程中，转过的圆心角为60°，则粒子在磁场中运动的时间t＝＝
(3)设编号为③的粒子在正六边形区域磁场中做圆周运动的半径为r3，由几何关系可得AE＝2acos 30°＝a
r3＝＝2a
OE＝＝3a
EG＝r3－OE＝(2－3)a.
12．如图所示，在一半径为R圆形区域内有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面对外．一束质量为m、电量为q且带正电的粒子沿平行于直径MN的方向进入匀强磁场，粒子的速度大小不同，重力不计．入射点P到直径MN的距离为h，求：
(1)某粒子经过磁场射出时的速度方向恰好与其入射方向相反，求粒子的入射速度是多大？
(2)恰好能从M点射出的粒子速度是多大？
(3)若h＝，粒子从P点经磁场到M点的时间是多少？
答案：(1) (2) (3)
解析：(1)粒子出射方向与入射方向相反，即在磁场中运动了半个周期，其半径r1＝h
则qv1B＝m
解得v1＝
(2)粒子从M点射出，其运动轨迹如图，在△MQO1中
r＝(R－)2＋(h－r2)2
得r2＝
qv2B＝m
所以v2＝
(3)若h＝，sin ∠POQ＝，可得∠POQ＝
由几何关系得粒子在磁场中偏转所对圆心角为
α＝
周期T＝
所以t＝T＝.
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