2021高考数学(福建-理)一轮作业：4.6-正弦定理和余弦定理.docx

4.6 正弦定理和余弦定理一、选择题1在ABC中，C60，AB，BC，那么A等于()A135 B105 C45 D75解析由正弦定理知，即，所以sin A，又由题知，BCAB，A45.答案C2已知a，b，c是ABC三边之长，若满足等式(abc)(abc)ab，则角C的大小为()A60 B90 C120 D150解析由(abc)(abc)ab，得(ab)2c2ab，c2a2b2aba2b22abcos C，cos C，C120.答案C3在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a，b(0)，A45，则满足此条件的三角形个数是()A0 B1C2 D很多个解析：直接依据正弦定理可得，可得sin B1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0.答案：A4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos Absin B，则sin Acos Acos2B等于()A B. C1 D1解析依据正弦定理，由acos Absin B，得sin Acos Asin2B，sin Acos Acos2Bsin2Bcos2B1.答案D5. 在中，角所对边的长分别为，若，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 解析 ，故选C.答案 C6在ABC中，sin2 Asin2 Bsin2 Csin Bsin C，则A的取值范围是()A. B. C. D.解析由已知及正弦定理有a2b2c2bc，而由余弦定理可知a2b2c22bccos A，于是可得b2c22bccos Ab2c2bc，可得cos A，留意到在ABC中，0A，故A.答案C7若ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(ab)2c24，且C60，则ab的值为()A. B84 C1 D.解析依题意得，两式相减得ab，选A.答案A二、填空题8如图，ABC中，ABAC2，BC2，点D在BC边上，ADC45，则AD的长度等于_解析在ABC中，ABAC2，BC2，cos C，sin C；在ADC中，由正弦定理得，AD.答案9. 在锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a2csin A，角C_.解析：依据正弦定理，由a2csin A，得，sin C，而角C是锐角角C.答案：10.设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且ABC，3b=20acosA，则sinAsinBsinC为_答案 65411若AB2，ACBC，则SABC的最大值_解析(数形结合法)由于AB2(定长)，可以令AB所在的直线为x轴，其中垂线为y轴建立直角坐标系，则A(1,0)，B(1,0)，设C(x，y)，由ACBC，得 ，化简得(x3)2y28，即C在以(3,0)为圆心，2为半径的圆上运动，所以SABC|AB|yC|yC|2，故答案为2.答案212在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若6cos C，则的值是_解析法一取ab1，则cos C，由余弦定理得c2a2b22abcos C，c，在如图所示的等腰三角形ABC中，可得tan Atan B，又sin C，tan C2，4.法二由6cos C，得6，即a2b2c2，tan C4.答案4三、解答题13叙述并证明余弦定理解析余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍或：在ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2b2c22bccos A，b2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C，法一如图(1)，图(1)a2()()22222|cos A2b22bccos Ac2，即a2b2c22bccos A.同理可证b2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C.法二图(2)已知ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图(2)则C(bcos A，bsin A)，B(c,0)，a2|BC|2(bcos Ac)2(bsin A)2b2cos2A2bccos Ac2b2sin2Ab2c22bccos A.同理可证b2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C.14在ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，B，b，ac4，求a.解析：由余弦定理b2a2c22accos Ba2c22accosa2c2ac(ac)2ac.又ac4，b，ac3.联立解得a1或a3.15.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB.（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值.16在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若cos B，ABC的周长为5，求b的长解析(1)由正弦定理，设k，则，所以.即(cos A2cos C)sin B(2sin Csin A)cos B，化简可得sin(AB)2sin(BC)又ABC，所以sin C2sin A，因此2.(2)由2得c2a.由余弦定理及cos B得b2a2c22accos Ba24a24a24a2.所以b2a.又abc5.从而a1，因此b2.