福建省长泰一中2021届高三上学期期末考试数学(文)试题-Word版含答案.docx

长泰一中2022-2021学年第一学期期末考
高三数学(文科)试卷
完卷时间：120 分钟 满分：150 分
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）。
1、若（其中为虚数单位，），则=（　　）
A．—3 B． 3 C．—1 D．l
2、若等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A．16 B．16或-16 C．-54 D．16或-54
3、则（ ）
A． B． C． D．
4、已知平面对量，，那么等于（ ）
A. B. C. D.
0.02
80
0.01
频率/组距
时速
0.03
0.04
40
60
50
70
6题
5、已知条件，条件，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6、已知200辆汽车通过某一段大路时的时速的频率分布
直方图如上图所示， 估量这辆汽车在这段大路时速的众
数是（　　）
A．60 B．65
C．60.5 D．70
7、已知，且，则使得取得最小值的分别是（ ）
A．2，2 B． C． D．
8、下列选项中与点位于直线的同一侧的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
9、在中，角A，B，C的对边分别为若，则角B的值为
A. B. C. D.
正视图
侧视图
俯视图
1
1
1
2
2
俯视图
10、函数为偶函数，满足，且当时，，那么函数的图象与函数的图象的交点共有（ ）
A．6个 B．4个 C．3个 D．2个
11、一个几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积为（　　）
A. B. C. D.
12、如图，F是抛物线的焦点，A是抛物线E上
任意一点.现给出下列四个结论：
①以线段AF为直径的圆必与y轴相切；
②当点A为坐标原点时，|AF|为最短；
③若点B是抛物线E上异于点A的一点，则当直线AB(AB2P)过焦点F时，
|AF|+|BF|取得最小值；
④点B、C是抛物线E上异于点A的不同两点，若|AF|、|BF|、|CF|成
等差数列，则点A、B、C的横坐标亦成等差数列.
其中正确结论的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。）

13、执行右边的程序框图，若输出的结果为2，则输入的x为 。
14、双曲线 的一条渐近线方程为，
则 .
15、一只昆虫在边长分别为5,12,13的三角形区域内爬行，则其
到三角形顶点距离小于2的地方的概率为
16、定义在上的函数，假如存在函数（为常数），
使得对一切实数都成立，则称为函数的一个承托函数．给出如下命题：
①函数是函数的一个承托函数；
②函数是函数的一个承托函数；
③若函数是函数的一个承托函数，则的取值范围是；
④值域是的函数不存在承托函数；
其中，全部正确命题的序号是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、（本题满分12分）已知数列的前项和为，且，
（1）求数列的通项公式
（Ⅱ）数列的通项公式,其前项和为，求证：.

18、（本题满分12分）已知函数的部分图象如图所示.
（I）求函数的解析式，并写出 的单调减区间；
（II）已知的内角分别是A，B，C，角A为锐角，且
的值.

19、（本题满分12分）某中学在高三班级开设了、、三个爱好小组，为了对爱好小组活动的开展状况进行调查，用分层抽样方法从、、三个爱好小组的人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表（单位：人）：

爱好小组
小组人数
抽取人数

24

36
3

48

（1）求、的值；
（2）若从、两个爱好小组抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自同一爱好小组的概率．

20、（本题满分12分）如图1，在直角梯形中，，，且．现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求三棱锥D—BCE的体积.
图2
图1

21.（本题满分12分）设椭圆 的左焦点为F,离心率为 ，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 ．
(I)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)设A，B分别为椭圆的左右顶点，过点F且斜率为 的直线与椭圆交于C，D两点，
若，求的值．

22.（本题满分14分）已知函数，．
（Ⅰ）当时，若直线过点且与曲线相切，求直线的线方程；
（Ⅱ）当时，推断方程在区间上有没有实根；
（Ⅲ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

长泰一中2022-2021学年第一学期期末考高三数学(文科)参考答案
1-12、BDCB ABBD AABD 13、-1或4 14、 15、 16、②③
17、（1）时， …… 1分
时， …… 3分
经检验时成立， …… 4分
综上 …… 5分
（2）由（1）可知 …… 7分

= …… 9分
==
所以 ……12分
18、解：（Ⅰ）由周期得所以 ……2分
当时，，可得
由于所以故 ……………………4分
由图象可得的单调递减区间为 ………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，, 即,
又角为锐角,∴. …………8分
又，且，. ……………9分
…………10分
. ……12分．
19、解：（Ⅰ）由题意可得，，解得………5分
（Ⅱ）设“选中的2人都来自同一爱好小组”为大事D………6分
记从爱好小组A中抽取的2人为，，从爱好小组B中抽取的3人为，，……7分
则基本大事有：（，），（，），（，），（，），（，），（，），
（，），（，），（，），（，）共10种……9分
大事D包含的基本大事有：（，），（，），（，），（，）共4种……10分
所以……11分
答：故选中的2人都来自同一爱好小组的概率为。……12分
N
20、（Ⅰ）证明：取中点，连结．
在△中，分别为的中点，
所以∥，且．
由已知∥，，
所以∥，且． …………………………2分
所以四边形为平行四边形．
所以∥． …………………………3分
又由于平面，且平面，
所以∥平面． ………………………4分
（Ⅱ）证明：在正方形中，．
又由于平面平面，且平面平面，
所以平面．
由于平面，所以． ………………………6分
在直角梯形中，，，可得．
在△中，， 所以．所以．
又由于，平面． …………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
所以 又由于平面
又= …………………………12分
21. 解：（I）依据椭圆方程为．
∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，
∴=，--------------------------------------------------2分
∵离心率为，∴=，
解得b=，c=1，a=．
∴椭圆的方程为；-------------------------------5分
（II）直线CD：y=k(x+1)，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，
∴x1+x2=﹣，x1x2=，--------------------------------8分
又A（﹣，0），B（，0），
∴=（x1+，y1) • (-x2,-y2) + (x2+，y2) • (-x1,-y1)
=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+=8，
解得k=．----------------------------------------------------------12分
22. 解：（Ⅰ）令切点为，当时，，，
，切线的方程为
又因直线过点
切线方程为 ………………… 5分
（Ⅱ）时，令，
，在上为增函数
又，所以在内无实数根 ………………10分
（Ⅲ）时恒成立， 即恒成立，
又，则当时，恒成立，
令，只需小于的最小值，
，…………………… 11分
， ， 当时，
在上单调递减，在的最小值为，
则的取值范围是 ……………………14分