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内点法的基本原理以及举例计算

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一、 内点法
1. 基本原理
内点法的特点是将构造的新的无约束目标函数——惩罚函数定义在可行域内，并在可行域内求惩罚函数的极值点，即求解无约束问题时的探索点总是在可行域内部，这样，在求解内点惩罚函数的序列无约束优化问题的过程中，所求得的系列无约束优化问题的解总是可行解，从而在可行域内部逐步逼近原约束优化问题的最优解。。
内点法是求解不等式约束最优化问题的一种十分有效方法，但不能处理等式约束。因为构造的内点惩罚函数是定义在可行域内的函数，而等式约束优化问题不存在可行域空间，因此，内点法不能用来求解等式约束优化问题。
对于目标函数为
min
s.t. （u=1,2,3,…m）
的最优化问题，利用内点法进行求解时，构造惩罚函数的一般表达式为

或者
而对于受约束于的最优化问题，其惩罚函数的一般形式为

或

式中，-----惩罚因子，是递减的正数序列，即

通常取。
上述惩罚函数表达式的右边第二项，称为惩罚项，有时还称为障碍项。
说明：
当迭代点在可行域内部时，有（=1，2，3，4，…m），而，则惩罚项恒为正值，当设计点由可行域内部向约束边界移动时，惩罚项的值要急剧增大并趋向无穷大，于是惩罚函数的值也急剧增大直至无穷大，起到惩罚的作用，使其在迭代过程中始终不会触及约束边界。
2. 内点法的迭代步骤
（1）取初始惩罚因子，允许误差；
（2）在可行域内取初始点，令；
（3）构造惩罚函数，从点出发用无约束优化方法求解惩罚函数的极值点；
（4）检查迭代终止准则：如果满足

或

则停止迭代计算，并以为原目标函数的约束最优解，否则转入下一步；
根据情况，终止准则还可有如下的形式：

或

或

5）取，转向步骤3）。
递减系数，常取0.1，亦可取0.02。
采用内点法应注意的几个问题：
（1）初始点的选取
初始点必须严格在可行域内，满足所有的约束条件，避免为约束边界上的点。
如果约束条件比较简单，可以直接人工输入；若问题比较复杂，可采用随机数的方式产生初始点，具体方程参照复合形法介绍。
（2）关于初始惩罚因子的选择。实践经验表明，初始惩罚因子选的恰当与否，会显著地影响内点法的收敛速度，甚至解题的成败。
若值选得太小，则在新目标函数即惩罚函数中惩罚项的作用就会很小，这时求的无约束极值，犹如原目标函数本身的无约束极值，而这个极值点又不大可能接近的约束极值点，且有跑出可行域的危险。相反，若值取得过大，则开始几次构造的惩罚函数的无约束极值点就会离约束边界很远，将使计算效率降低。可取1～50，但多数情况是取。
通常，当初始点是一个严格的内点时，则应使惩罚项在新目标函数中所起的作用与原目标函数的作用相当，于是得

倘若约束区域是非凸的且初始点亦不靠近约束边界，则的取值可更小，约为上式算得值的0.1～0.5倍。

内点法的计算程序框图

例题：用内点法求
min
s.t. （u=1,2,3,…m）
的约束最优解。（取0.001）
解：构造内点惩罚函数为

用极值条件进行求解
，
联立上式求得
，
由于约束条件的限制，可得无约束极值点为

当取1，0.1,0.01,…→0时，可得最优解为
，
编程方式实现：
1. 惩罚函数
function f=fun(x,r)
f=x(1,1)^2+x(2,1)^2-r*log(x(1,1)-1);
2. 步长的函数
function f=fh(x0,h,s,r)
%h为步长
%s为方向
%r为惩罚因子
x1=x0+h*s;
f=fun(x1,r);
3. 步长寻优函数
function h=fsearchh(x0,r,s)
%利用进退法确定高低高区间，利用黄金分割法进行求解
h1=0;%步长的初始点
st=0.001; %步长的步长
h2=h1+st;
f1=fh(x0,h1,s,r);
f2=fh(x0,h2,s,r);
if f1>f2
h3=h2+st;
f3=fh(x0,h3,s,r);
while f2>f3
h1=h2;
h2=h3;
h3=h3+st;
f2=f3;
f3=fh(x0,h3,s,r);
end
else
st=-st;
v=h1;
h1=h2;
h2=v;
v=f1;
f1=f2;
f2=v;
h3=h2+st;
f3=fh(x0,h3,s,r);
while f2>f3
h1=h2;
h2=h3;
h3=h3+st;
f2=f3;
f3=fh(x0,h3,s,r);
end
end
%得到高低高的区间
a=min(h1,h3);
b=max(h1,h3);
%利用黄金分割点法进行求解
h1=1+0.382*(b-a);
h2=1+0.618*(b-a);
f1=fh(x0,h1,s,r);
f2=fh(x0,h2,s,r);
while abs(a-b)>0.0001
if f1>f2
a=h1;
h1=h2;
f1=f2;
h2=a+0.618*(b-a);
f2=fh(x0,h2,s,r);
else
b=h2;
h2=h1;
f2=f1;
h1=a+0.382*(b-a);
f1=fh(x0,h1,s,r);
end
end
h=0.5*(a+b);
4. 迭代点的寻优函数
function f=fsearchx(x0,r,epson)
x00=x0;
m=length(x0);
s=zeros(m,1);
for i=1:m
s(i)=1;
h=fsearchh(x0,r,s);
x1=x0+h*s;
s(i)=0;
x0=x1;
end
while norm(x1-x00)>epson
x00=x1;
for i=1:m
s(i)=1;
h=fsearchh(x0,r,s);
x1=x0+h*s;
s(i)=0;
x0=x1;
end
end
f=x1;
5. 主程序
clear
clc
x0=[2;2]; %给定初始点
r=1;
c=0.1;
epson=0.001;
x1=fsearchx(x0,0.1,epson);
while norm(x0-x1)>epson
x0=x1;
r=r*c;
x1=fsearchx(x0,r,epson) ;
end
disp '函数的最优解为'
x1

运行结果：
函数的最优解为
x1 =
1.0475
-0.0005

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