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力学第五次作业解答

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第五次作业解答

4-5 某弹簧不遵守胡克定律. 设施力F，相应伸长为x，力与伸长的关系为F＝52.8x＋38.4x2（SI）求：
(1)将弹簧从伸长x1＝0.50 m拉伸到伸长x2＝1.00 m时，外力所需做的功．
(2)将弹簧横放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一个质量为2.17 kg的物体，然后将弹簧拉伸到一定伸长x2＝1.00 m，再将物体由静止释放，求当弹簧回到x1＝0.50 m时，物体的速率．
(3)此弹簧的弹力是保守力吗？
解：(1) 外力做的功
＝31 J
(2) 设弹力为F′
= 5.34 m/s
(3) 此力为保守力，因为其功的值仅与弹簧的始末态有关．

4-6 如图所示，质量m为 0.1 kg的木块，在一个水平面上和一个劲度系数k为20 N/m的轻弹簧碰撞，木块将弹簧由原长压缩了x = 0.4 m．假设木块与水平面间的滑动摩擦系数m k为0.25，问在将要发生碰撞时木块的速率v为多少？
解：根据功能原理，木块在水平面上运动时，摩擦力所作的功等于系统（木块和弹簧）机械能的增量．由题意有
而
由此得木块开始碰撞弹簧时的速率为
= 5.83 m/s
[另解]根据动能定理，摩擦力和弹性力对木块所作的功，等于木块动能的增量，应有
其中

4-10 如图所示，在与水平面成a角的光滑斜面上放一质量为m的物体，此物体系于一劲度系数为k的轻弹簧的一端，弹簧的另一端固定．设物体最初静止．今使物体获得一沿斜面向下的速度，设起始动能为EK0，试求物体在弹簧的伸长达到x时的动能.

解：如图所示，设l为弹簧的原长，O处为弹性势能零点；x0为挂上物体后的伸长量，O＇为物体的平衡位置；取弹簧伸长时物体所达到的O²处为重力势能的零点．由题意得物体在O＇处的机械能为：

在O² 处，其机械能为：

由于只有保守力做功，系统机械能守恒，即：

在平衡位置有： mgsina =kx0
∴
代入上式整理得：

4-13 一物体与斜面间的摩擦系数m = 0.20，斜面固定，倾角a = 45°．现给予物体以初速率v 0 = 10 m/s，使它沿斜面向上滑，如图所示．求：
(1) 物体能够上升的最大高度h；
(2) 该物体达到最高点后，沿斜面返回到原出发点时的速率v ．
解：(1)根据功能原理，有

=4.5 m
(2)根据功能原理有

=8.16 m/s

4-15 在光滑的水平桌面上，有一如图所示的固定半圆形屏障．质量为m的滑块以初速度沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为m．试证明当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力所作的功为

证：滑块受力如图所示．滑块作圆周运动
①
②
由①、②可得
∴
分离变量进行积分
可得
由动能定理，摩擦力所作的功为

4-16 质量为M的实验小车上有一根竖立细杆，用一根长为R的细绳将质量为m′的一个小球挂在杆上P点．该小车和球以共同的初速度v向右运动，和质量为m的另一辆静止小车发生完全非弹性碰撞，如图所示．设忽略一切摩擦且设M，m >> m′，则小球的运动对两辆小车的速度的影响也可忽略不计．试证明：欲使小球在竖直面内绕P点作圆周运动．实验小车和球的初速度大小至少为
证：两车相碰后的速度由动量守恒定律有
①
若小车静止不动，小球作圆周运动所需的最小速度为v1，则小球转至最高点时，则速度，由机械能守恒定律有
②
即
在速度为v′的运动的车上，若要小球相对车的最小速度等于v1，则球对地的速度应为
故有
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