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传热学教案2精品文档第2章 导热基本定律及稳态导热1 、重点内容： 傅立叶定律及其应用； 导热系数及其影响因素； 导热问题的数学模型。2 、掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法3 、了解内容：多维导热问题第一章介绍传热学中热量传递的三种基本方式：导热、对流、热辐射。根据这三个基本方式，以后各章节深入讨论其热量传递的规律，理解研究其物理过程机理，从而达到以下工程应用上目的：基本概念、基本定律 : 傅立叶定律 , 牛顿冷却定律 , 斯忒藩玻耳兹曼定律。 能准确的计算研究传热问题中传递的热流量 能准确的预测研究系统中的温度分布导热是一种比较简单的热量传递方式 , 对传热学的深入学习必须从导热开始，着重讨论稳态导热。首先，引出导热的基本定律，导热问题的数学模型，导热微分方程；其次，介绍工程中常见的三种典型（所有导热物体温度变化均满足）几何形状物体的热流量及物体内温度分布的计算方法。最后，对多维导热及有内热源的导热进行讨论。2-1 导热基本定律一 、温度场1 、概念温度场是指在各个时刻物体内各点温度分布的总称。由傅立叶定律知：物体导热热流量与温度变化率有关，所以研究物体导热必涉及到物体的温度分布。一般地，物体的温度分布是坐标和时间的函数。即： （2-1）式中：为空间笛卡儿坐标；为时间坐标。2 、温度场分类1 ）稳态温度场（定常温度场）：是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随时间的改变而变化的温度场称稳态温度场，其表达式： （2-2）在特殊情况下，物体的温度仅在一个坐标方向上有变化，如图1.1所示的两个各自保持均匀温度的平行平面间的导热就是一个例子。这种情况下的温度场称为一维稳态温度场。2 ）非稳态温度场（非定常温度场）：是指在变动工作条件下，物体中各点的温度分布随时间而变化的温度场称非稳态温度场，其表达式为式（2-1）。 3 、等温面及等温线 1 ）等温面：对于三维温度场中同一瞬间同温度各点连成的面称为等温面。 2 ）等温线（ 1 ）定义：在任何一个二维的截面上等温面表现为等温线。一般情况下，温度场用等温面图和等温线图表示。 （ 2 ）等温线的特点：物体中的任何一条等温线要么形成一个封闭的曲线，要么终止在物体表面上，它不会与另一条等温线相交。 （ 3 ）等温线图的物理意义：若每条等温线间的温度间隔相等时，等温线的疏密可反映出不同区域导热热流密度的大小。若相等，且等温线越疏，则该区域热流密度越小；反之，越大。 图2-1 温度场的图示二 、导热基本定律教材（ 1-1 ）、（ 1-2 ）式的适用条件：（ 1 ）一维导热（ 2 ）一块平板两侧表面温度分别维持各自均匀的温度。 1 、导热基本定律（傅立叶定律） 1 ）定义：在导热现象中，单位时间内通过给定截面所传递的热量，正比例于垂直于该截面方向上的温度变化率，而热量传递的方向与温度升高的方向相反，即：此处，是垂直于面积的坐标轴。2 ）数学表达式： （2-3）傅里叶定律用热流密度表示为： （2-4）式中：是物体温度沿方向的变化率；是沿方向传递的热流密度（严格说热流密度是矢量，所以是热流密度矢量在方向的分量）。当物体的温度是三个坐标的函数时，三个坐标方向上的单位矢量与该方向上热流密度分量乘积合成一个热流密度矢量，记为。傅里叶定律的一般数学表达式为： （2-5）式中：是空间某点的温度梯度；是通过该点的等温线上的法向单位矢量，指向温度升高的方向；为该处的热流密度矢量。图2-2 等温线与热流线2 、温度梯度与热流密度矢量的关系 如图2-2（a）所示，表示了微元面积附近的温度分布及垂直于该微元面积的热流密度矢量的关系。 1 ）热流线定义：热流线是一组与等温线处处垂直的曲线，通过平面上任一点的热流线与该点的热流密度矢量相切。 2 ）热流密度矢量与热流线的关系：在整个物体中，热流密度矢量的走向可用热流线表示。如图2-2（b）所示，其特点是相邻两个热流线之间所传递的热流密度矢量处处相等，构成一热流通道。 三 、导热系数（ 导热率、比例系数）1 、导热系数的含义导热系数数值上等于 （2-5）2 、特点其大小取决于：（ 1 ）物质种类（）；（ 2 ）物质温度，与间的关系，可写成： 其中：温度： 常数；该直线延长与纵坐标的截距。3 、保温材料（隔热、绝热材料） 把导热系数小的材料称保温材料。我国规定： 时，W/(m.K)的材料称为保温材料。保温材料导热系数界定值的大小反映了一个国家保温材料的生产及节能的水平。越小，生产及节能的水平越高。我国 50 年代为0.23 W/(m.K)，80年代GB4272-84规定为0.14W/(m.K)，GB427-92规定为0.12 W/(m.K)。4 、保温材料热量转移机理 ( 高效保温材料 ) 高温时： (1) 蜂窝固体结构的导热；(2) 穿过微小气孔的导热。更高温度时：（ 1 ）蜂窝固体结构的导热；（ 2 ）穿过微小气孔的导热和辐射。5 、超级保温材料 采取的方法：（ 1 ）夹层中抽真空（减少通过导热而造成热损失） （ 2 ）采用多层间隔结构（ 1cm 达十几层） 特点：间隔材料的反射率很高，减少辐射换热，垂直于隔热板上的导热系数可达：104W/(m.K)。6 、各向异性材料 指有些材料（木材，石墨）各向结构不同，各方向上的也有较大差别，这些材料称各向异性材料。此类材料必须注明方向。相反，称各向同性材料。 22 导热微分方程式及定解条件 由前可知： （ 1 ）对于一维导热问题，根据傅立叶定律积分，可获得用两侧温差表示的导热量。 （ 2 ）对于多维导热问题，首先获得温度场的分布函数，然后根据傅立叶定律求得空间各点的热流密度矢量。 一 、导热微分方程 1 、定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式，称为导热微分方程。 2 、导热微分方程的数学表达式 导热微分方程的推导方法，假定导热物体是各向同性的。 1 ）针对笛卡儿坐标系中微元平行六面体由前可知，空间任一点的热流密度矢量可以分解为三个坐标方向的矢量。 同理，通过空间任一点任一方向的热流量也可分解为、坐标方向的分热流量，如图 2-3 所示。 图2-3 微元平行六面体的导热分析 通过、三个微元表面而导入微元体的热流量：、 的计算式。 根据傅立叶定律得： （a） 通过、三个微元表面而导出微元体的热流量的计算式。根据傅立叶定律得： （b） 对于任一微元体根据能量守恒定律，在任一时间间隔内有以下热平衡关系： 导入微元体的总热流量 + 微元体内热源的生成热 = 导出微元体的总热流量 + 微元体热力学能（内能）的增量 (c) 其中:微元体内能的增量 = (d) 微元体内热源生成热= (e) 其中分别为微元体的密度、比热容、单位时间内单位体积内热源的生成热及时间。将式（a）、（b）、（d）、（e）代入式（c），并整理得： (2-7)这是笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般表达式。 物理意义：反映了物体的温度随时间和空间的变化关系。 讨论： 时： (2-8)其中称扩散系数（热扩散率）。 物体内无内热源，即，且时： (2-9) 若，且属稳态，即：时： (2-10) 即数学上的泊松方程。该微分方程属常物性、稳态、三维、有内热源问题的温度场控制方程式。 常物性、稳态、无内热源： (2-11)即数学上的拉普拉斯方程。 2）圆柱坐标系中的导热微分方程， (2-12)3）球坐标系中的导热微分方程， (2-13)综上说明： （ 1 ）导热问题仍然服从能量守恒定律； （ 2 ）等号左边是单位时间内微元体热力学能的增量（非稳态项）； （ 3 ）等号右边前三项之和是通过界面的导热使微分元体在单位时间内增加的能量 ( 扩散项 ) ； （ 4 ）等号右边最后项是源项； （ 5 ）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导热量为零，则相应的扩散项即从导热微分方程中消失。 通过导热微分方程可知，求解导热问题，实际上就是对导热微分方程式的求解。预知某一导热问题的温度分布，必须给出表征该问题的附加条件。 二、 定解条件 1 、定义：是指使导热微分方程获得适合某一特定导热问题的求解的附加条件。 2 、分类：1 ）初始条件：初始时间温度分布的初始条件； 2 ）边界条件：导热物体边界上温度或换热情况的边界条件。 说明： 非稳态导热定解条件有两个； 稳态导热定解条件只有边界条件，无初始条件。 3 、导热问题的常见边界条件可归纳为以下三类：1 ）第一类边界条件：规定了边界上的温度值, 即。对于非稳态导热这类边界条件要求给出以下关系，时, ；2 ）第二类边界条件：规定了边界上的热流密度值；对于非稳态导热这类边界条件要求给出以下关系式： 当时， 式中为表面 A 的法线方向。3 ）第三类边界条件：规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数以及周围流体的温度。 以物体被冷却为例：对于非稳态导热，式中、均是的函数。 三、有关说明1 、热扩散率的物理意义 由热扩散率的定义：可知： 1）是物体的导热系数，越大，在相同温度梯度下，可以传导更多的热量。2) 是单位体积的物体温度升高1所需的热量。越小，温度升高1所吸收的热量越少，可以剩下更多的热量向物体内部传递，使物体内温度更快的随界面温度升高而升高。由此可见的物理意义： 越大，表示物体受热时，其内部各点温度扯平的能力越大。 越大，表示物体中温度变化传播的越快。所以，也是材料传播温度变化能力大小的指标，亦称导温系数。 2 、导热微分方程的适用范围1 ）适用于不很高，而作用时间长。同时傅立叶定律也适用该条件。 2 ）若时间极短，而且热流密度极大时，则不适用。3 ）若属极低温度（接近于0K）时的导热不适用。 学习了导热微分方程及边界条件后，对于导热的绝大多数问题都可以通过给出该问题的完整数学描写后进行求解，求出物体内的温度分布，进而结合傅里叶定律求出热流量或者热流密度等其它需要求解的问题。对于工程实际的一些问题，完全可以对实际问题进行适当的简化并求解，同学们要掌握解决实际问题的方法。下面通过几个例题来说明。例题1：一直径为、长为的圆杆，两端分别与温度为及的表面接触，杆的导热系数为常数。试对下列两种稳态情形列出杆中温度的微分方程式及边界条件，并求之：（1）杆的侧面是绝热的；（2）杆的侧面与四周流体间有稳定的对流换热，平均表面传热系数为，流体温度小于及。拿到问题后，首先要分析属于什么类型的问题，并对微分方程进行简化，而后其边界条件。解：（1）（1） 解方程得温度分布函数为：（2） 引入过余温度，有： 解方程，得例题2：核反应堆的辐射防护壁因受射线的照射而发热，这相当于防护壁内有的内热源，其中是的表面上的发射率，为已知常数。已知处，处，防护壁内温度分布满足，导热系数为常数。试导出该防护壁中温度分布的表达式及最高温度所在的位置。解：该问题的完整数学描写为：，也即 积分，得 代入边界条件，得将值代入温度分布表达式中，得温度分布为： 最高温度应满足 求得最高温度所在的位置为： 例题3：一厚为的无限大平板，其一侧被加热，热流密度为常数，另一侧向温度为的环境散热，表面传热系数为，平板导热系数为常数。试列出平板中稳态温度场的微分方程式及边界条件，并求出平板内的温度分布函数。解：建立如右图所示的坐标，则该问题的微分方程式及边界条件为：0 求解微分方程，得 将两边界条件代入，解得， 则单层平壁内的温度分布表达式为： 2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其他变截面物体的导热一 、通过平壁的导热1 、单层平壁已知：单层平壁两侧恒温且为、, 壁厚m ，如图2-4所示，建立坐标系，温度只在 x 方向变化，属一维温度场。图2-4 单层平壁试确定温度分布并求。 1 ）温度分布当时，无内热源的一维稳态导热完整的数学描写为： 对微分方程积分得其通解（连续积分两次）： 其中、为常数，由边界条件确定。代入边界条件，得该条件下其温度分布为： 由上式可知物体内温度分布成线性关系，即温度分布曲线的斜率是常数（温度梯度）。2 ）热流密度根据傅立叶定律，结合温度分布函数，得通过平壁的热流密度为： （ 2-18 ） 若表面积为，通过平壁的导热热流量则为: （ 2-19 ） 此两式是通过平壁导热的计算公式，它们揭示了、与、和之间的关系。2 、热阻的含义热量传递是自然界的一种转换过程，与自然界的其他转换过程类同，如：电量的转换，动量、质量等的转换。其共同规律可表示为：过程中的转换量=过程中的动力/过程中的阻力，由前可知： 在平板导热中导热热流量：，即： (2-21)式中:-热流量，为导热过程的转移量；-温差，为导热过程的动力；-为导热过程的阻力。由此引出热阻的概念： 1 ）热阻定义：热转移过程的阻力称为热阻。 2 ）热阻分类：不同的热量转移有不同的热阻，其分类较多，如：导热阻、辐射热阻、对流热阻等。对平板导热而言又分： 面积热阻：位面积的导热热阻称面积热阻。 热阻：整个平板导热热阻。3 ）热阻的特点：图2-5 多层平壁串联热阻叠加原则：在一个串联的热量传递过程中，若通过各串联环节的热流量相同，则串联过程的总热阻等于各串联环节的分热阻之和。 因此，稳态传热过程热阻的组成是由各个构成环节的热阻组成，且符合热阻叠加原则。 3 、复合壁的导热情况复合壁（多层壁）：就是由几层不同材料叠加在一起组成的复合壁。 如图2-5所示。以下讨论三层复合壁的导热问题，如图 2-5 所示：假设条件：层与层间接触良好，没有引起附加热阻（亦称为接触热阻）也就是说通过层间分界面时不会发生温度降。已知各层材料厚度为、，对应导热系数为、，多层壁内外表面温度为、， 其中间温度、未知，。 试求：通过多层壁的热流密度。解：根据平壁导热公式可知各层热阻为： 根据串联热阻叠加原理得多层壁的总热阻为（适用条件：无内热源，一维稳态导热）： 则多层壁热流密度计算公式为： （2-22）依次类推，层多层壁的计算公式是： （2-23）解得热流密度后，层间分界面上的未知温度、即可求出： （2-24）说明：当导热系数对温度有依变关系时，即导热系数是温度的线性函数时，只需求得该区域平均温度下的值，代入以上公式即可求出正确结果。二 、通过圆筒壁的导热 1 、单层圆筒壁已知圆筒内、外半径分别为， 内外表面温度恒定分别为，若采用圆柱坐标系求解，则成为沿半径方向的一维导热问题，如图 2-6 所示，假设：。1 ）圆筒壁的温度分布根据圆柱坐标系中的导热微分方程： 图2-6 单层圆筒壁得常物性、稳态、一维、无内热源圆筒壁的导热微分方程为： （225）如图建立坐标系，边界条件为： 对此方程积分得其通解 ( 连续积分两次 ) ： 其中、为常数，由边界条件确定。 代入边界条件，得： 将、代入导热微分方程通解中，得圆筒壁的温度分布为： （226）由此可见，圆筒壁中的温度分布呈对数曲线，而平壁中的温度分布呈线性分布。 2 ）圆筒壁导热的热流密度：对圆筒壁温度分布求导得： 代入傅立叶定律得通过圆筒壁的热流密度： （227）由此可见，通过圆筒壁导热时，不同半径处的热流密度与半径成反比。 3 ）圆筒壁面的热流量： （228）由此可见，通过整个圆筒壁面的热流量不随半径的变化而变化。 2、多层圆筒壁据热阻的定义，通过圆通壁的导热热阻为： （229）同理：对于多层圆通壁的导热问题，可根据热阻叠加原理，求得通过多层圆通壁的导热热流量： （230）三、其他变截面或变导热系数的导热问题前三种情况的求解方法：1）求解导热微分方程得其温度分布；2）据傅立叶定律获得导热热流量。1 、变导热系数根据傅立叶定律求解而导热系数为变数或沿导热热流密度矢量方向导热截面积为变量时，此方法有效。 导热系数为温度的函数，根据傅立叶定律得：分离变量后积分，并注意到与无关，则得： 方程右边乘以，得： 显然，式中项是在至范围内的积分平均值，可用表示，于是上式写成： （234）方程中若，则或，由此可见：是算术平均温度下的值，计算时只需把前述公式中的取平均温度下的值即可。2-4 通过肋片的导热 一、基本概念 1 、肋片：依附于基础表面上的扩展表面。2 、常见肋片的结构：针肋、直肋、环肋、大套片。3 、肋片导热的作用及特点：1 ）作用：增大对流换热面积及辐射散热面,以强化换热。2 ）特点：在肋片伸展的方向上有表面的对流换热及辐射散热，肋片中沿导热热流传递的方向上热流量是不断变化的。即：。 4 、分析肋片导热解决的问题：一是确定肋片的温度沿导热热流传递的方向是如何变化的？二是确定通过肋片的散热热流量有多少？ 肋片在工程实际的换热设备中，常用于强化对流换热，如散热器外加肋片，翅片管换热器等都是应用肋片强化换热的典型例子。肋片的型式多种多样，其中最简单的就是等截面直肋。二、通过等截面直肋的导热如图 2-7 所示，已知肋根温度为, 周围流体温度为，且，为复合换热的表面传热系数。试确定：肋片中的温度分布及通过肋片的散热量。解：假设：1）肋片在垂直于纸面方向 ( 即深度方向 ) 很长，不考虑温度沿该方向的变化，因此取单位长度分析； 2）材料导热系数及表面传热系数均为常数，沿肋高方向肋片横截面积不变； 3）表面上的换热热阻远大于肋片的导热热阻，即肋片上任意截面上的温度均匀不变； 4）肋片顶端视为绝热，即；在上述假设条件下，复杂的肋片导热问题就转化为一维稳态导热，如图2.7 （b）。但是肋片导热不同于前面的平壁和圆筒壁的导热。从图2-7中可以看出，肋片的边界为肋根和肋端，分别添加第一和第二类边界条件，但肋片的周边也要与周围流体进行对流换热，将该项热量作为肋片的内热源进行处理，这样肋片的导热问题就简化成了一维有内热源的稳态导热问题。其相应的导热微分方程为：图2-7 通过肋片的热量传递 （a） 计算区域的边界条件是： (b)针对长度为的微元体，参与换热的截面周长为，则微元表面的总散热量为： （c） 微元体的体积为,那么，微元体的折算源项为： （d） 负号表示肋片向环境散热，所以源项取负。 将式（d）代入式（a），得： （e） 该式为温度的二阶非齐次常微分方程。为求解方便，引入过余温度，使式(e)变形成为二阶齐次方程,可得所研究问题的完整数学描写为： （235）式中为一常量。式（235）是一个二阶线性齐次常微分方程，求解得其通解为： （f）其中为积分常数，由边界条件确定。将边界条件代入得： (g)求解，得：将代入通解中,得肋片中的温度分布为： （236）令, 即可从上式得出肋端温度的计算式： （237）据能量守恒定律知，由肋片散入外界的全部热流量都必须通过处的肋根截面。将式（236）的代入傅里叶定律的表达式，即得通过肋片散入外界的热流量为： （238）说明：1）上述结论是在假设肋端绝热的情况下推出的，即。可应用于大量实际肋片，特别是薄而长结构的肋片，可以获得实用上足够精确的结果。若必须考虑肋端的散热，则，上述公式不适用，此时可在肋端添加第三类边界条件进行求解；2）计算热流量的比较简便的方法。若肋片的厚度为，引入假想高度代替实际肋高仍按式（238）计算。这种处理，实际上是基于这样一种想法，即为了照顾末梢端面的散热而把端面面积铺展到侧面上去。三、通过环肋及三角形截面直肋的导热 前面推导的等截面直肋的情况是肋片求解中一种最为简单的情况。变截面直肋或等厚度环肋的情况要复杂一些，因为对于这些情况，截面积不能再作为常量处理，因而其基本微分方程式的求解要复杂得多。为了表征肋片散热的有效程度，引入肋效率的概念，它有以下物理意义： （239）已知肋效率即可计算出肋片的实际散热量。对于等截面直肋，其肋效率为： （240）对于直肋，假定肋片长度比其厚度要大得多，所以可取出单位长度来研究。其中参与换热的周界，于是有： （h）对于环肋，理论分析表明，肋效率也是参数的单值函数。假定环的内半径远大于其厚度，则上式同样成立。将上式的分子分母同乘以，得： （241）式中，代表肋片的综剖面积。实用上，往往采用以肋效率与式（241）所示的或为坐标的曲线，来表示各种肋片的理论解的结果。图214、215（见教材41页）分别示出了直肋和环肋的这种曲线图。四、接触热阻图218 固体表面间的实际接触情况两个名义上互相接触的固体表面，实际上接触仅发生在一些离散的面积元上，如图218所示。在未接触的界面之间的间隙中常常充满空气，热量将以导热及辐射的方式穿过这种气隙层。这种情况与两固体表面真正完全接触相比，增加了附加的传递阻力，称为接触热阻。对于需要强化换热的情形，如肋片表面，接触热阻是有害的。当采用在圆管上缠绕金属带以生成环肋，或在管束间套以金属薄片形成管片式换热器时，采用胀管或浸镀锡液的操作都是为了有效地减少接触热阻。当界面间有了接触热阻时界面上的温度就不再连续，如图218所示。目前，不同接触情况下的接触热阻主要靠实验测定。习题269附图例题（习题269）：一种利用对比法测定材料导热系数的装置示意图如附图所示。用导热系数已知的材科A及待测导热系数的材料B制成相同尺寸的两个长圆柱体，并垂直地安置于温度为的热源上，采用相同的方法冷却两个柱体，并在离开热源相同的距离处测定两柱体的温度及。已知W/(m.K)，。试确定之值。解：这是一个应用肋片导热进行实际问题分析的典型。根据肋片导热的分析知，肋片温度分布函数为：，对于长肋片，由于肋端温度为有限大小，则只有，所以其温度分布函数简化为，当时，则。对于柱体A和B，分别得：上两式联立，解得与该题类似，也可以在柱体A和B上测得温度相同的点，进而确定另一柱体的导热系数，同学们可根据以上方法进行求解。2-5 具有内热源的导热及多维导热图219 具有均匀内热源的平壁一、具有内热源的导热以上各节讨论的都是一维无内热源的导热问题。实际上，在工程技术领域中常常遇到有内热源的导热问题，例如电器及线圈中有电流通过时的发热，化工中的放热、吸热反应以及核能装置中燃料元件的放射反应等所引起的热传递等。这里作为示例，仅讨论平壁中具有均匀内热源的情形。设图219所示的平壁具有均匀的内热源，其两侧同时与温度为的流体发生对流换热，表面传热系数为，现在要确定平板中任一处的温度及通过该截面处的热流密度。 由于对称性，只要研究板厚的半即可。这样，在板的中心截面上应为第二类边界条件中的绝热边界，而在板的外表面应为第三类边界条件，因此这一问题的数学描写为： （242）对微分方程作两次积分，得：其中常数由两个边界条件式确定。最后可得平板中的温度分布为： （243）任一位置处的热流密度仍然可由温度分布按傅里叶定律得出： （244）由此可见，与无内热源的平壁解相比，热流密度不再是常数，温度分布也不再是直线而是抛物线，这些都是由内热源引起的变化。值得指出，对于给定壁面温度的情形可以看成是当表面传热系数趋于无穷大而流体温度等于壁面温度时的一个特例，当平壁两侧均为给定壁温时平壁中的温度分布可由式（243）得出，为： （245）多维导热作为了解内容，要求学生自行学习。作业：本章小结：收集于网络，如有侵权请联系管理员删除