2021版《·讲与练》高中数学北师大版必修五：课时作业2-数列的函数特性.docx

课时作业2　数列的函数特性
时间：45分钟　　满分：100分
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．数列{an}，an＝f(n)是一个函数，则它的定义域为(　　)
A．非负整数集
B．正整数集
C．正整数集或其子集
D．正整数集或{1,2,3,4，…，n}
【答案】　D
【解析】　依据数列的定义可以得出．
2．数列，，，，…中，有序数对(a，b)可以是(　　)
A．(21，－5)　　　　　　　　 B．(16，－1)
C．(－，) D．(，－)
【答案】　D
【解析】　通项公式为，
故
∴a＝，b＝－.
3．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是(　　)
A．107 B．108
C．108 D．109
【答案】　B
【解析】　an＝－2n2＋29n＋3
＝－2(n2－n)＋3
＝－2(n－)2＋3＋.
当n＝7时，an最大且a7＝108.
4．已知数列{an}的通项公式an＝n2＋kn＋2，若对于n∈N＋，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是(　　)
A．k>0 B．k>－1
C．k>－2 D．k>－3
【答案】　D
【解析】　∵an＋1>an，
∴an＋1－an>0.
又an＝n2＋kn＋2，
∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋2－(n2＋kn＋2)>0.
∴k>－2n－1.
又－2n－1(n∈N＋)的最大值为－3，
∴k>－3.
5．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b为常数)，且a>b，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】　A
【解析】　设an＋2＝bn＋1，
∴(a－b)n＋1＝0，
∵a>b，n>0，
∴(a－b)n＋1＝0不成立，故选A.
6．在数列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，…中x的值是(　　)
A．21 B．20
C．18 D．5
【答案】　A
【解析】　由题意知：从第3项起，每一项都等于它的前面相邻两项的和，所以x＝8＋13＝21.
7．已知数列{an}的通项公式为an＝n－1，则关于an的最大项，最小项叙述正确的是(　　)
A．最大项为a1，最小项为a3
B．最大项为a1，最小项不存在
C．最大项不存在，最小项为a3
D．最大项为a1，最小项为a4
【答案】　A
【解析】　令t＝n－1，则它在N＋上递减且0<t≤1，而an＝t2－t，在0<t≤时递减，在t≥时递增，且n＝1时，t＝1，n＝2时，t＝，n＝3时，t＝，n＝4时，t＝，且a4>a3，故选A.
二、填空题(每小题5分，共15分)
8．数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n＋5，则它的通项公式为________．
【答案】　an＝
【解析】　n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－2n＋5－(n－1)2＋2(n－1)－5＝2n－3，
n＝1时，a1＝S1＝4，不适合上式，
∴an＝.
9．已知数列{an}中，an＝bn＋m(b<0，n∈N＋)满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.
【答案】　2
【解析】　a1＝2，a2＝4，
∴，∴(舍去)或，
∴a3＝(－1)3＋3＝2.
10．若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n，关于该数列，有以下四种说法：
(1)该数列有无限多个正数项；(2)该数列有无限多个负数项；(3)该数列的最大项就是函数f(x)＝－2x2＋13x的最大值；(4)－70是该数列中的一项．
其中正确的说法有________．(把全部正确的序号都填上)
【答案】　(2)(4)
【解析】　令－2n2＋13n>0，得0<n<，故数列{an}有6项是正数项，有无限个负数项．当n＝3时，数列{an}取到最大值，而当x＝3.25时函数f(x)取到最大值．
令－2n2＋13n＝－70，得n＝10，或n＝－(舍去)．即－70是该数列的第10项．
三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11．(15分)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋24n(n∈N＋)．
(1)求{an}的通项公式．
(2)当n为何值时，Sn达到最大？最大值是多少？
【解析】　(1)an＝－2n＋25(n∈N＋)．
(2)当n＝12时，Sn最大，S12＝144.
12．(15分)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋7.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
【解析】　数列的通项an与n之间构成二次函数关系，可结合二次函数学问去进行探求，同时要留意n的取值范围．
(1)由n2－8n＋7<0，得1<n<7，∵n∈N＋，
∴n＝2,3,4,5,6，
∴{an}有5项是负数．
(2)∵an＝n2－8n＋7＝(n－4)2－9，
∴n＝4时，an取最小值，其最小值为9.
13．(20分)数列{an}中，an＝.
(1)求这个数列的第10项；
(2)是否为该数列的项，为什么？
(3)求证：an∈(0,1)；
(4)在区间(，)内有很多列{an}的项，若有，有几项？若无，说明理由．
【解析】　(1)∵an＝＝，
∴a10＝.
(2)假设是数列{an}中的项，则
＝⇒3n＝299，
此方程无整数解，
∴不是该数列的项．
(3)证明：∵an＝＝1－，n∈N＋，
∴0<<1，
∴an∈(0,1)．
(4)由<an<，
得<<.
∴⇒<n<，
∴当且仅当n＝2时，在区间(，)内有数列{an}的项．