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“四地六校联考”2022-2021学年上学期第三次月考
高三数学（文）试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
命题人：泉港一中 陈亚良 审题人：泉港一中 钟长彬
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合，则= （ ）
A． B． C. D.
2．已知角的终边经过点，则 （ ）
A． B． C． D．
3. 已知为虚数单位, 则复数）在复平面内对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限
4．下列函数中, 在区间上为增函数的是( )
A. B. C. D.
5.假如直线与直线相互垂直，那么=（ ）
A.1 B. C. D.
6. 为了得到函数的图象，则只要将的图像（ ）
开头
否
是
输出
结束
(9题图)
A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
7．设向量,满足，，则=( )
A.1 B.2 C.3 D.5
8．中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为( )
A . B. C . D.
9．程序框图如右图所示，则输出的值为( )
A．15 B．21 C．22 D．28
（11题图）
10．函数的图像恒过定点，若点在直线上，则的最小值为( )
A． B． C． D．
11．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
12.已知定义在R上的函数的图象关于点成中心对称图形，且满足，,，则的值为( )
A.1 B.2 C. 0- D.-2-
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的相应位置.
100
80
90
110
120
130
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
底部周长/cm
(第13题)
13.设抽测的树木的底部周长均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于100cm.
14．已知函数则的值是
15．是抛物线上一点，抛物线的焦点为，且，则点的纵坐标为________．
16. 若直线与曲线满足下列两个条件：直线在点处与曲线相切；曲线在点四周位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线. 下列命题正确的是__ ____(写出全部正确命题的编号)
①直线在点处“切过”曲线：
②直线在点处“切过”曲线：
③直线在点处“切过”曲线：
④直线在点处“切过”曲线：
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分12分)
在中，角，，对应的边分别为，，，且,.
(Ⅰ)求边的长度；
(Ⅱ)求的值.
18（本小题满分12分）
已知数列中，，且点在函数的图象上,数列是各项都为正数的等比数列，且.
（Ⅰ）求数列,的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，记数列的前n项和为,求的值.
19．（本小题满分12分）
依据调查，某学校开设了“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团，三个社团参与的人数如下表所示：
社团
街舞
围棋
武术
人数
320
240
200
为调查社团开展状况，学校社团管理部接受分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，已知从“街舞”社团抽取的同学8人。
(I) 求的值和从“围棋”社团抽取的同学的人数；
(II)若从“围棋”社团抽取的同学中选出2人担当该社团活动监督的职务，已知 “围棋”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率。
20．（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，为矩形，平面平面．
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）若，问当为何值时，四棱锥的体积最大？并求其最大体积.
21. (本小题满分12分)
已知椭圆：（）的长半轴长为2，离心率为，左右焦点分别为，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于，两点，与以，为直径的圆交于，两点，且满足，求直线的方程．
22．（本小题满分14分）
已知函数，其中常数.
（Ⅰ）当时，求函数的极值点；
（Ⅱ）证明：对任意恒成立；
（III）对于函数图象上的不同两点，假如在函数图象上存在点（其中）,使得在点M处的切线∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特殊地，当，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．
试问：当时，对于函数图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”,并证明你的结论．
“四地六校联考”2022-2021学年上学期第三次月考
高三数学（文）参考答案
一、本大题共12小题，每小题5分，共60分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
A
D
C
A
D
B
B
C
A
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13. 24 14. 15 .4 16 ①③
17. (本小题满分12分)
（Ⅰ）由余弦定理，得.又,，
. ………2分
………4分
（Ⅱ）在△ABC中，，……………………………6分
由正弦定理，得 .………………………………8分
因a=b>c，所以C为锐角，因此 ……………10分
于是. …………………12分
18. (本小题满分12分)
解：(1) 因点在直线y=x+1的图象上，，即
数列{an}是以1为首项，1为公比的等比数列.
故数列的通项公式为 …………………………………………4分
数列{bn}为等比数列，设公比为q，
∵，b4＝b1q3＝8，
∴,q＝2.∴bn＝2n－1(n∈N*)．…………………………………8分
（Ⅱ）, ……12分
19．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ） …………………………………2分
从“围棋”社团抽取的同学: …………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从“围棋”社团抽取的同学为6人，
其中2位女生记为A，B，4位男生记为C，D，E，F ………5分
则从这6位同学中任选2人，不同的结果有
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，
{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，
共15种． ……………………………………8分
法1：其中含有1名女生的选法为
{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，
{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，
共8种；
含有2名女生的选法只有{A，B}1种． 至少有1名女同学共9种 ……………………10分
故至少有1名女同学被选中的概率=． ………………… ……12分
法2：从这6位同学中任选2人，没有女生的有：{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，
{E，F}，共6种
故至少有1名女同学被选中的概率1-=．
P
A
B
C
D
0
20.(本小题满分12分)
解：（1）面面,面面=,
面……………………………………4分
又面……………………………………5分
……………………………………6分
（2）取中点，连结,
,由（1）有面ABCD, ………………8分
设AD=.
…………………10分 ……………………11分
当即时，………………………………12分
21. (本小题满分12分)
（Ⅰ）由题设知……………………2分
解得
∴ 椭圆的方程为．……………………4分
（Ⅱ）由题设，以为直径的圆的方程为，……………………5分
∴ 圆心的直线的距离，由得．（*）……………………6分
∴ ．……………………7分
设由，得，……………………8分
由求根公式可得．……………………9分
∴ ．……………………10分
由得， 解得，满足（*）．……………11分
∴ 直线的方程为或．…………………12分
22. (本小题满分14分) （Ⅰ）当时，
…1分，
时
当或时，即在上单调递增……2分，
当时，，在上单调递减 ……3分，
为函数的极大值点，为函数的微小值点 ………………4分
（Ⅱ）令 …6分
所以在上递增,（当且仅当x=1时等号成立），
即证： 对任意恒成立； ……………8分
（III）当，，，假设函数存在“中值伴侣切线”.
设A,是曲线上的不同点，且，
则直线AB的斜率：……9分
曲线在点处的切线斜率： ……10分
依题意：,即化简得，…11分
即 设 ，上式化为, …………12分
由（2）知时，恒成立.所以在内不存在,使得成立.
综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值伴侣切线” ………………14分
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