资源描述
试卷类型：A
2021年广州市一般高中毕业班综合测试（一）
数学（文科）
2021.3
本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟.
留意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必需用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必需写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必需保持答题卡的洁净。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集, 集合,, 则集合可以表示为
A． B． C． D．
2．已知向量，若，则实数的值为
A． B． C． D．
3. 若某市所中学参与中同学合唱竞赛的得分用茎叶图表示（如图），其中茎为十位数，
叶为个位数，则这组数据的中位数是
A. B.
C. D.
4．已知为虚数单位，复数的虚部记作，则
A． B． C． D．
5. 设抛物线上一点到轴的距离为，则点到抛物线的焦点的距离是
A． B． C． D．
6. 已知△的三边所对的角分别为,且, 则的值为
A. B. C. D.
7. 已知数列为等比数列，若，则的值为
A. B. C. D.
8. 若直线上存在点满足约束条件 则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
9. 已知某锥体的正视图和侧视图如图2，
其体积为，则该锥体的俯视图可以是
图2
A. B. C. D.
10．已知圆的圆心为坐标原点，半径为，直线为常数，与圆
相交于两点，记△的面积为，则函数的奇偶性为
A．偶函数 B．奇函数
C．既不是偶函数，也不是奇函数 D．奇偶性与的取值有关
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11～13题）
11. 函数的定义域为 .
12. 已知e为自然对数的底数，则曲线e在点处的切线斜率为 .
13. 已知函数，点为坐标原点, 点N， 向量，
是向量与的夹角，则的值为 .
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14. （坐标系与参数方程选做题）
在直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为为参数
和为参数．以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲
线与的交点的极坐标为 .
15. （几何证明选讲选做题）
如图3，是圆的一条弦，延长至点，
使得，过作圆的切线，为切点，
的平分线交于点，则的长为 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）若是第一象限角，且，求的值.
分组
频数
频率
合计
17．（本小题满分12分）
从广州某高校男生中随机抽取名同学，
测得他们的身高(单位: cm)状况如表1:
（1）求的值；
（2）按表1的身高组别进行分层抽样, 从这名同学中抽取名担当广州国际马拉松志愿者, 再从身高不低于cm的志愿者中随机选出名担当迎宾工作, 求这名担当迎宾工作的志愿者中至少出名的身高不低于cm的概率.
表1
18.（本小题满分14分）
如图4，在边长为的菱形
中，，点，分别是
边，的中点，．
沿将△翻折到△，连
接，得到如图5的五棱
锥，且.
（1）求证：平面；
（2）求四棱锥的体积.
19.（本小题满分14分）
已知数列的前项和为，且满足, , N.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在正整数，使，， 成等比数列? 若存在，求的值； 若不存
在，请说明理由.
20.（本小题满分14分）
已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆交于，两点，且点的坐标为，点是椭圆上异于点,的任意一点，点满足，，且，，三点不共线.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 求点的轨迹方程；
(3) 求面积的最大值及此时点的坐标.
21.（本小题满分14分）
已知为常数，且，函数的最小值和函数
的最小值都是函数R的零点.
（1）用含的式子表示，并求出的取值范围；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
数学（文科）参考答案
说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，假如考生的解法与参考答案不同，可依据试题主要考查的学问点和力气比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步毁灭错误时，假如后继部分的解答未转变该题的内容和难度，可视影响的程度打算后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；假如后继部分的解答有较严峻的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基本学问和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
A
B
C
C
A
C
A
二、填空题：本大题考查基本学问和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
11. 12. 13. 14. 15.
说明: 第14题答案可以是Z.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
（本小题主要考查三角函数图象的周期性、同角三角函数的基本关系、三角恒等变换等学问，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解力气）
（1）解：
…………………………1分
…………………………2分
…………………………3分
. …………………………4分
∴ 函数的最小正周期为. …………………………5分
（2）解：∵， ∴ . …………………………6分
∴ .
∴ . …………………………7分
∵ 是第一象限角，
∴ . …………………………8分
∴ . …………………………9分
∴ …………………………10分
…………………………11分
. …………………………12分
17. （本小题满分12分）
（本小题主要考查古典概型、分层抽样等基础学问，考查化归与转化的数学思想方法，以及数据处理力气与应用意识）
（1）解: 由，得. …………………………1分
由，得， …………………………2分
由，得. …………………………3分
（2）解：依据分层抽样的方法，抽取的名志愿者中身高在区间上的有
名，记为； …………………………………………5分
而身高在区间上的出名，记为. ……………………7分
记“这名担当迎宾工作的志愿者中至少出名的身高不低于cm”为大事，
从身高不低于cm的志愿者中随机选出名担当迎宾工作，共有种不同取法：
，，
，，． …………………………9分
大事包含的基本大事有种：，，
，． …………………………11分
∴为所求． …………………………12分
18．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等学问，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象力气、推理论证力气和运算求解力气）
（1）证明：∵点，分别是边，的中点，
∴∥. …………………………1分
∵菱形的对角线相互垂直，
∴. …………………………2分
∴. …………………………3分
∴，. …………………………4分
∵平面，平面，，
∴平面. …………………………5分
∴平面. …………………………6分
（2）解：设，连接，
∵，
∴△为等边三角形. …………………………7分
∴，，，. ……………………8分
在R t△中，， …………………………9分
在△中，， …………………………10分
∴. …………………………11分
∵，，平面，平面，
∴平面. …………………………12分
梯形的面积为，………………………13分
∴四棱锥的体积.………………14分
19．（本小题满分14分）
（本小题主要考查等差数列、等比数列等学问，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解力气和创新意识）
（1）解：∵, ,
∴. …………………………1分
∴ . …………………………2分
∴ . …………………………3分
（2）解法1: 由, 得. ……………………4分
∴ 数列是首项为, 公差为的等差数列.
∴ . …………………………5分
∴ . …………………………6分
当时, …………………………7分
. …………………………8分
而适合上式，
∴ . …………………………9分
解法2: 由, 得，
∴． ① …………………………4分
当时，，②
①②得，
∴． …………………………5分
∴． …………………………６分
∴ 数列从第２项开头是以为首项, 公差为的等差数列. ………７分
∴ . …………………………８分
而适合上式，
∴ . …………………………9分
（3）解：由(2)知, .
假设存在正整数, 使, , 成等比数列,
则. …………………………10分
即. …………………………11分
∵ 为正整数,
∴.
得或, …………………………12分
解得或, 与为正整数冲突. …………………………13分
∴ 不存在正整数, 使, , 成等比数列. …………………………14分
20.（本小题满分14分）
（本小题主要考查椭圆的方程、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等学问，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证力气和运算求解力气）
（1）解法1： ∵ 双曲线的顶点为,, …………1分
∴ 椭圆两焦点分别为,.
设椭圆方程为，
∵ 椭圆过点，
∴ ，得. ………………………2分
∴ . ………………………3分
∴ 椭圆的方程为 . ………………………4分
解法2: ∵ 双曲线的顶点为,, …………………1分
∴ 椭圆两焦点分别为,.
设椭圆方程为，
∵ 椭圆过点，
∴ . ① ………………………2分
. ∵ , ② ………………………3分
由①②解得, .
∴ 椭圆的方程为 . ………………………4分
（2）解法1：设点，点，
由及椭圆关于原点对称可得，
∴，，
，.
由 , 得 ， ……………………5分
即 . ①
同理, 由, 得 . ② ……………6分
①②得 . ③ ………………………7分
由于点在椭圆上, 则，得,
代入③式得 .
当时，有，
当，则点或,此时点对应的坐标分别为或
，其坐标也满足方程. ………………………8分
当点与点重合时，即点，由②得 ，
解方程组 得点的坐标为或.
同理, 当点与点重合时，可得点的坐标为或.
∴点的轨迹方程为 , 除去四个点,, ,
. ………………………9分
解法2：设点，点，
由及椭圆关于原点对称可得，
∵，，
∴，.
∴，① ……………………5分
. ② ……………………6分
①② 得 . (*) ………………………7分
∵ 点在椭圆上, ∴ ，得,
代入(*)式得，即,
化简得 .
若点或, 此时点对应的坐标分别为或
，其坐标也满足方程. ………………………8分
当点与点重合时，即点，由②得 ，
解方程组 得点的坐标为或.
同理, 当点与点重合时，可得点的坐标为或.
∴点的轨迹方程为 , 除去四个点,, ,
. ………………………9分
(3) 解法１：点到直线的距离为.
△的面积为………………………10分
. ………………………11分
而（当且仅当时等号成立）
∴. ……12分
当且仅当时, 等号成立.
由解得或 ………………………13分
∴△的面积最大值为, 此时,点的坐标为或.…14分
解法２：由于，
故当点到直线的距离最大时，△的面积最大． ………………………10分
设与直线平行的直线为，
由消去，得，
由，解得． ………………………11分
若，则，；若，则，． …12分
故当点的坐标为或时，△的面积最大，其值为
． ………………………14分
21. （本小题满分14分）
（本小题主要考查函数的最值、函数的导数、函数的零点与单调性等学问，考查数形结合、化归与转化、分类与争辩的数学思想方法，以及运算求解力气、抽象概括力气与创新意识）（1）解: 由于，，则，
当且仅当，即时，. …………………1分
，当时，.
………………………2分
∵，
∴，.
由于，结合题意，可知，
方程的两根是，， ………………………3分
故，. ………………………4分
∴.
∴. ………………………5分
而方程的一个根在区间上，另一个根在区间上.
令，
则 ………………………6分
即解得 ………………………7分
∴. ………………………8分
∴，.
求的取值范围的其它解法：
另法1：由，得， ………………………6分
∵，
∴． ………………………７分
∵，
∴． ………………………8分
另法2：设，，
则， ………………………6分
故函数在区间上单调递减．
∴． ………………………７分
∴． ………………………8分
（2）解：由（1）得，
则. ………………………9分
∵，
∴二次函数的开口向下，对称轴.
故函数在区间上单调递减. ………………………10分
又， ………………………11分
∴当时，.
∴函数在区间上单调递减. ………………………12分
∴函数的最大值为，最小值为.
………………………14分
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