高中数学(北师大版)必修五教案：3.4-简单线性规划-参考教案1.docx

§4.2 简洁线性规划（1）
教学目标：
1.了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；
2.能依据条件建立线性目标函数；
3.了解线性规划问题的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值.
教学重、难点：线性规划问题的图解法；寻求线性规划问题的最优解.
教学过程：
（一）复习练习：
画出下列不等式表示的平面区域：
（1）； （2）．
（二）新课讲解：
在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产支配等问题。
1、下面我们就来看有关与生产支配的一个问题：
引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂全部可能的日生产支配是什么？
（1）用不等式组表示问题中的限制条件：
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组：
……………………………………………….（1）
（2）画出不等式组所表示的平面区域：
如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表全部可能的日生产支配。
（3）提出新问题：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，接受哪种生产支配利润最大？
（4）尝试解答：
设生产甲产品件，乙产品件时，工厂获得的利润为,则，这样，上述问题就转化为：当满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？
把变形为，这是斜率为，在y轴上的截距为的直线。当z变化时，可以得到一族相互平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（），这说明，截距可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），而且当截距最大时，z取得最大值。因此，问题可以转化为当直线与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P，使直线经过点P时截距最大。
（5）获得结果：由图可以看出，当经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点时，截距的值最大，最大值为，这时.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。
2、有关概念
在上述引例中，不等式组是一组对变量的约束条件，这组约束条件都是关于的一次不等式，所以又称为线性约束条件。是要求最大值或最小值所涉及的变量的解析式，叫目标函数。又由于是的一次解析式，所以又叫线性目标函数.
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由全部可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解和分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.
（三）例题分析：
例1：设满足约束条件
（1）求目标函数的最小值与最大值
（2）求目标函数的最小值与最大值
解：（1）作出可行域（如图）
令作直线
当把直线向下移动时所对应的的函数值
随之减小，所以直线经过可行域的顶点时，
取得最小值，顶点是直线与直线的交点，即
当把直线向上移动时所对应的的函数值随之增大，所以直线经过可行域的顶点时，取得最大值，顶点是直线与直线的交点，由知，此时顶点和顶点为最优解
所以，
（2）作直线，把直线向下平移时，所对应的的函数值随之减小，即的函数值随之减小，当直线经过可行域顶点时，取得最小值，即取得最小值
顶点是直线与直线的交点，由知
代入目标函数知
由于直线平行于直线
，因此当把直线向上平移到时，与可行域的交点不止一个，而是线段上的全部点，此时，
练习：设变量满足条件，
（1）求的最大值和最小值.（2）求的最大值和最小值.
解：（1）由题意，变量所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。由图知，原点不在公共区域内，当时，，即点在直线：上，

作一组平行于的直线：，，
可知：当在的右上方时，直线上的点
满足，即，
而且，直线往右平移时，随之增大。
由图象可知，
当直线经过点时，对应的最大，
当直线经过点时，对应的最小，
所以，，．
（2）直线与所在直线平行，则由（1）知，
当与所在直线重合时最大，此时满足条件的最优解有很多多个，
当经过点时，对应最小，
∴，．
说明：1．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；
2．线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有很多多个。
例2．设满足约束条件组，求的最大值和最小值.
解：由知，代入中，得，，

∴原约束条件组可化为，
如图，作一组平行线：平行于：，
由图象知，当往左上方时，往左上方移动时随之增大，
当往右下方移动时，随之减小，
所以，当直线经过时，；
当直线经过时，．
例3（参考）．已知满足不等式组，求使取最大值的整数．

解：不等式组的解集为三直线：，：，：所围成的三角形内部（不含边界），设与，与，与交点分别为，则坐标分别为，，，
作一组平行线：平行于：，
当往右上方移动时，随之增大，
∴当过点时最大为，但不是整数解，
又由知可取，
当时，代入原不等式组得， ∴；
当时，得或， ∴或；
当时，， ∴，
故的最大整数解为或．
说明：最优整数解常有两种处理方法，一种是通过打出网格求整点，关键是作图要精确；另一种是本题接受的方法，先确定区域内点的横坐标范围，确定的全部整数值，再代回原不等式组，得出的一元一次不等式组，再确定的全部相应整数值，即先固定，再用制约．
课堂小结：1．线性规划问题的有关概念；
2．线性规划问题的图解法求目标函数的最大、最小值；
3．线性规划问题的最优整数解.
作业：课本第108页A组 第6题.