2020年人教A版数学理(福建用)课时作业：第五章-第五节数列的综合应用.docx

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课时提升作业(三十四)
一、选择题
1.等差数列{an}的公差为3，若a2,a4,a8成等比数列，则a4=( )
(A)8 (B)10 (C)12 (D)16
2.等差数列｛an｝的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是( )
(A)90 (B)100 (C)145 (D)190
3.已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是( )
(A)21 (B)20 (C)19 (D)18
4.(2021·石家庄模拟)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为( )
(A) (B) (C) (D)
5.已知数列{an}满足：a1=1,an>0,=1(n∈N*)，那么使an<5成立的n的最大值为( )
(A)4 (B)5 (C)24 (D)25
6.已知数列{an}为等差数列，公差为d,若＜-1，且它的前n项和Sn有最大值，则使得Sn＜0的n的最小值为( )
(A)11 (B)19 (C)20 (D)21
7.(2021·南平模拟)在1到104之间全部形如2n和3n(n∈N*)的数，它们各自之和的差的确定值为(lg 2≈0.301 0)( )
(A)1 631 (B)6 542 (C)15 340 (D)17 424
8.(力气挑战题)甲、乙两间工厂的月产值在2022年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值.乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2022年11月份发觉两间工厂的月产值又相同.比较甲、乙两间工厂2022年6月份的月产值大小，则有( )
(A)甲的产值小于乙的产值 (B)甲的产值等于乙的产值
(C)甲的产值大于乙的产值 (D)不能确定
二、填空题
9.(2021·温州模拟)设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为
an,则数列{}的前n项和Sn等于___________.
10.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此连续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.
11.设数列{an}中，a1=2,an+1=an+n+1，则通项an=_________.
12.(力气挑战题)数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t，点(Sn,an+1)在直线y=2x+1上，n∈N*，若数列{an}是等比数列，则实数t=__________.
三、解答题
13.(2021·龙岩模拟)已知数列{an}满足:Sn=1-an(n∈N*)，其中Sn为数列{an}的前n项和.
(1)试求{an}的通项公式.
(2)若数列{bn}满足:试求{bn}的前n项和公式Tn.
14.(2022·安徽高考)设函数f(x)=+sin x的全部正的微小值点从小到大排成的数列为{xn}.
(1)求数列{xn}的通项公式.
(2)设{xn}的前n项和为Sn，求sin Sn.
15.(2021·厦门模拟)我们规定，对于任意实数A，若存在数列{an}和实数
x(x≠0)，使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，则称数A可以表示成x进制形式，简记为:
如：A=则表示A是一个2进制形式的数，且A=-1+3×2+(-2)×22+1×23=5.
(1)已知m=(1-2x)(1+3x2)(其中x≠0)，试将m表示成x进制的简记形式.
(2)记bn=(n∈N*)，若{an}是等差数列，且满足a1+a2=3,a3+a4=7,求bn=9 217时n的值.

答案解析
1.【解析】选C.令首项为a，依据条件有(a+9)2=(a+3)·(a+21)⇒a=3，
a4=3+3×3=12.故选C.
2.【解析】选B.设公差为d，则(1+d)2=1·(1+4d).
∵d≠0，解得d＝2，∴S10＝100.
3.【解析】选B.由a1+a3+a5=105得3a3=105,即a3=35，由a2+a4+a6=99得3a4=99即a4=33，
∴d=-2，an=a4+(n-4)×(-2)=41-2n，
由得n=20.
4.【解析】选A.设五个人所分得的面包为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(其中d＞0)，则(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,∴a=20.
由(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,得3a+3d=7(2a-3d)，
∴24d=11a,∴d=，
所以，最小的一份为a-2d=20-.
5.【解析】选C.由a1=1,an>0,=1(n∈N*)可得,即,要使an<5，则n<25,故选C.
6.【思路点拨】解答本题首先要搞清条件“＜-1”及“Sn有最大值”如何使用，从而列出关于a1,d的不等式组，求出的取值范围，进而求出访得Sn＜0的n的最小值，或者依据等比数列的性质求解.
【解析】选C.方法一：由题意知d＜0,a10＞0,a11＜0,a10+a11＜0,
由得.
∵,
由Sn=0得n=0或n=1-.
∵,
∴Sn＜0的解集为{},
故使得Sn＜0的n的最小值为20.
方法二：由题意知d＜0,a10＞0,a11＜0,a10+a11＜0,
由a10＞0知S19＞0,由a11＜0知S21＜0,
由a10+a11＜0知S20＜0,故选C.
7.【解析】选B.由2n<104，得≈13.29，故数列{2n}在1到104之间的项共有13项，它们的和；同理数列{3n}在1到104之间的项共有8项，它们的和
∴|S1-S2|=6 542.
8.【解析】选C .设甲各个月份的产值构成数列{an}，乙各个月份的产值构成数列{bn}，则数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，且a1=b1,a11=b11，故a6=，由于在等差数列{an}中的公差不等于0，故a1≠a11，上面的等号不能成立，故a6>b6，即6月份甲的产值大于乙的产值.
9.【解析】∵y′=nxn-1-(n+1)xn,∴y′|x=2=n·2n-1-(n+1)·2n=-n·2n-1-2n,
∴切线方程为y+2n=(-n·2n-1-2n)(x-2),
令x=0得y=(n+1)·2n，即an=(n+1)·2n,
∴,∴Sn=2n+1-2.
答案:2n+1-2
10.【解析】设开头纯酒精体积与总溶液体积之比为1，操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比，设操作n次后，纯酒精体积与总溶液体积之比为an,则an+1=an·,
∴得n≥4.
答案:4
【方法技巧】建模解数列问题
对于数列在日常经济生活中的应用问题，首先分析题意，将文字语言转化为数学语言，找出相关量之间的关系，然后构建数学模型，将实际问题抽象成数学问题，明确是等差数列问题、等比数列问题，是求和还是求项，还是其他数学问题，最终通过建立的关系求出相关量.
11.【解析】∵a1=2,an+1=an+n+1,
∴an=an-1+(n-1)+1,an-1=an-2+(n-2)+1,
an-2=an-3+(n-3)+1,…,a3=a2+2+1,
a2=a1+1+1,a1=2=1+1,
将以上各式相加得：
an=[(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+2+1]+n+1
=
=.
答案:
12.【思路点拨】得出关于an+1,Sn的式子，降低一个角标再得一个关于an,Sn-1的式子，两个式子相减后得出an+1,an的关系，可得数列{an}中，a2,a3,a4,…为等比数列，只要等于上面数列的公比即可.
【解析】由题意得an+1=2Sn+1,
an=2Sn-1+1(n≥2),
两式相减得an+1-an=2an，即an+1=3an(n≥2),
所以当n≥2时，{an}是等比数列，
要使n≥1时，{an}是等比数列，则只需=3，从而t=1.
答案:1
13.【解析】(1)∵Sn=1-an①,
∴Sn+1=1-an+1②,
②-①得an+1=-an+1+an,
∴an+1=an(n∈N*),
又n=1时,a1=1-a1,∴a1=
∴an=
(2)∵bn==n·2n(n∈N*),
∴Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n③,
∴2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1④,
③-④得-Tn=2+22+23+…+2n-n×2n+1
=-n×2n+1,
整理得:Tn=(n-1)2n+1+2,n∈N*.
14.【思路点拨】(1)依据导数，xn的左侧导函数小于0，xn的右侧导函数大于0，求出微小值点.(2)由(1)求出{xn}的前n项和为Sn，再代入sin Sn求解.
【解析】(1)f(x)=+sin x,令f'(x)=+cos x=0,得x=2kπ±(k∈Z),
f'(x)>0⇒2kπ-<x<2kπ+(k∈Z),
f'(x)<0⇒2kπ+<x<2kπ+(k∈Z),
当x=2kπ-(k∈Z)时，f(x)取微小值,
xn=2nπ-(n∈N*).
(2)由(1)得：xn=2nπ-,
Sn=x1+x2+x3+…+xn
=2π(1+2+3+…+n)-=n(n+1)π-.
当n=3k(k∈N*)时，sin Sn=sin(-2kπ)=0,
当n=3k-1(k∈N*)时，sin Sn=sin=,
当n=3k-2(k∈N*)时，sin Sn=sin.
所以
15.【解析】(1)m=(1-2x)(1+3x2)=1-2x+3x2-6x3=x～(1)(-2)(3)(-6).
(2) ⇒⇒⇒an=n,
bn=1+2×21+3×22+4×23+…+n×2n-1①,
2bn=1×2+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n②,
①-②得-bn=1+2+22+23+…+2n-1-n×2n,
化简得:bn=(n-1)2n+1,
又bn=9 217,解得n=10.

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