吉林省长春市十一中2022届高三上学期期中试题-数学-Word版含答案.docx

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长春市十一高中2021-2022学年度高三上学期期中考试
数 学（理）试 题
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）
1.已知集合，，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分条件 D.既不充分也不必要条件

2．如图，在复平面内，若复数对应的向量分别是，则
复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限

3．若向量的夹角为，且，则向量与向量的夹角为（ ）
A. B. C. D.

4. 为等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．不确定

5．已知，则（ ）
A． B. C． D.
6. 已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.

7. 函数的图象大致为（ ）

8．如图所示程序框图中，输出（ ）
A. B. C. D.
9.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图曲线部分是两个半径为1的圆弧，则这个几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
否
是
开头
结束
8题
9题图

10.由不等式组确定的平面区域为，由不等式组确定的平面区域为，在内随机的取一点，则点落在区域内的概率为（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数，方程有四个不同的实数根，
则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12．已知点是椭圆上非顶点的动点，分别为椭圆的左、右焦点，是坐标原点，若是的平分线上一点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．函数的部分图象如图所示，则 .
14. 已知点在曲线上，则曲线在点处的切线方程为_____________.

15.定义在上的奇函数，对于，都有，且满足，，则实数的取值范围是 .

16.给出下列四个命题：
① ，；
② 函数图像的对称中心是；
③ 函数是周期函数， 是它的一个周期；
④
其中正确命题的序号是 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（本小题满分分）
数列满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.

18．（本小题满分分）
在中，角的对边分别为，设函数
的值域为.
（1）求的值；
（2）若，且，为锐角，求的边上高的值．

19. （本小题满分分）
如图，四棱柱中，侧棱底面，∥，，，为棱中点.
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值

20．(本小题满分12分）
已知抛物线上点到焦点的距离为．
（1）求的值；
（2）设是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且（其中 O为坐标原点）．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；

21.（本小题满分12分）
设函数.
（1）若函数在上为减函数，求实数的最小值；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.

22．(本小题满分10分)选修4——1：几何证明选讲
如图所示，已知圆外有一点，作圆的切线，为切点，过的中点作割线，交圆于、两点，连接并延长，交圆于点，连接交圆
于点，若.
（1）求证：△∽△;
（2）求证：四边形是平行四边形.

23．（本小题满分10分）选修4——4：极坐标与参数方程选讲
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆，直线的极坐标方程分别为，．
（1）求与的直角坐标方程，并求出与的交点坐标；
（2）设为的圆心，为与交点连线的中点．已知直线的参数方程为（为参数，），求的值．

24.（本题满分10分）选修4——5：不等式选讲
设函数.
（1）若，解不等式；
（2）若有最小值，求实数的取值范围.
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长春市十一高中2021-2022学年度高三上学期期中考试
数 学 试 题 （理）参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
B
B
C
D
B
B
C
A
C
B
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13. 1 14. 15. 或 16. ①③④
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.解析：
（1）由条件知数列是首项为，公差的等差数列，………3分
所以：，解得： ………………6分
（2）由………………9分
所以：………………12分
18.解析：
（1）由条件当时，，所以：………2分
（ⅰ）当时，由条件知，解得：………………4分

（ⅱ）当时，由条件知，解得：………………6分
（2）若，由（1）知：，由，即：，
所以：（为锐角）且………………8分
由余弦定理：，所以………………10分
，………………12分

19.解析
x
y
z
（1）由已知条件，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，……1分
则：，是中点，
则…………3分
，………5分
所以：，
故，即：……………6分
（2）由已知条件：结合（1）知平面，故平面的一个法向量为
…………3分
由条件：，，设平面的一个法向量为，则
，取得…………10分
所以的余弦值
故二面角的正弦值为…………12分
20．（1）由抛物线定义得， …………………2分
所以抛物线方程为，………3分 代入点，可解得. ………5分
（2）设直线的方程为，，
联立消元得：，则：，…………8分
由得：，所以：或（舍去）
即，所以直线的方程为，
所以直线过定点 ………… 12分
21.解析：
（1）函数定义域为：，对函数求导：，
若函数在上为减函数，则在恒成立
所以： ………2分
由，故当，即时，
所以： ，所以的最小值是………………5分
（2）若存在，使成立，则问题等价为：
当时，
由（1）知：在的最大值为，所以
所以问题转化为：………………7分
（ⅰ）当时，由（1）知：在是减函数，
所以的最小值是，解得：
（ⅱ）当时，在的值域是
①当，即时， 在是增函数，于是：
，冲突
②当，即时，由的单调性和值域知：存在唯一的，使得
且当时，，为减函数；当时，，为增函数
所以：的最小值为，
即：，冲突
综上有：

22. 证明：（1）∵是圆的切线， 是圆的割线， 是的中点，
∴， ∴，
又∵， ∴△∽△，
∴， 即.
∵， ∴， ∴，
∴△∽△. ………5分

（2）∵，∴，即，
∴， ∵△∽△，∴，
∵是圆的切线，∴，
∴，即，
∴， ∴四边形PMCD是平行四边形. ………10分
23.解析：
（1）由极直互化公式得：
………4分
联立方程解得交点坐标为 ………5分
（2）由（1）知：， 所以直线：，
化参数方程为一般方程：，
对比系数得： ，………10分

24.解析
（1），，即：
，解得：，所以解集为： ………5分
（2），有最小值的充要条件为：，
即：………10分