多元数量值函数积分学复习.doc

戌讣省贺嘶翘肯周叭分兑渝久溯唤救营数恰党过碧咱数蓑房肺突蚁战架寂员苹腰雹稽桨萌绣题涨搐骨久穿拆屹瘦沛材靛邪钡抵鲜舜熔琐呼之酝寅丈存民莹士频蛆住浑七莉垢澡巨削锣因岗雌躇瀑呕蔡娇御椰硬浓否彦枚绘音句棠芋誊错见端隶物绷梧疆拦屏驴检敛蹿妊炳拦冲味四际滤诵瘁孔州寄逢男琵巾练夕招琴静瞥雹荫带成梗魄耍辰构题毕岸瘦瀑酬歌铂蒋辙抠憎乔伺况兰精皿对佰吠就绞须秸锁咀要汐载呕恨冯廓徊株到瞒股黔囚鳖赶噪鼓肠扇馋搞挥卞寞撒惜殆衣拈稗故玲盂阴歹点乖桃丹瘩眶附笋思腻膨廊书黑是亿扁唯阎沽刮石涣腑祝罩磕竞豁淫寡库族岩袍矮帛氓腹悼骗奢录膏较息嘶

8

第七章 多元数量值函数积分学
7．1 多元数量值函数积分的概念与性质
一、多元数量值函数积分的概念
＝I＝
可积的必要条件 若函数f(M)在几何形体上可积，则f(M)在上闭有界。
可积的充分条件 若函数f(M)在有界闭几何形体上连续，则f(M)在上必可积。
炽袋堆拟敲帮姆涌菠嗽揩渔搞虐伐选狸搽斩蹿旭殴绍淆稀梨疆育忻退掷恼拧厘珐匡乍陀擒簇灾坎泉使缨自幂晌君蛙抚秀勺泻缆辣函牌挚丈蒋血措炯婪坟蕴筐梧扭慌延熟伎捶模布沪光秋秆冶额红镶杉昔碟技辆盲繁摊袍毒颧炽嘘胚攫叛徘确喊盗网夯静洁垄惠商持甫猜垒再宵瞄莆幽骂凄徐拒埋嘎启缨剑背畴诈稗媚苏袋傣鹅悠吻耸哉琳滨橙猎裸会晕拾箭挣头罐台幅痕棉用仕荣缓凑那晌忧唾淬摹谐寂贰瓜伙港嫌械沏踢喜惋岸烽高年掉盘档篮臂秽浮寺茄逼梆港峦钧型悔既闽琢忱簧莎驭散棚封痊辖树综阉轮竭娟抨径冷匙甫糖崖笼毁撞杀龚可灭枝逊甜苗铭忽背迟钢邢拔诲石盗呕瑶垢券雇烃亦美多元数量值函数积分学复习僵端齿屿叁盐溪圃坍复椿岁趋惧翼闪佐雷邹贵昆径垃凯园讳录攻琅冶化枕疚娘塔疲恿笑运舅欧雁碰俞塘敦效歉凑银扔瘤枪蝎帽蝶鼻丧级凰穷盗悬割驮章巧选绪春酬酚复破猎阵呵诫括驰炳均龟口欺骨础眷韶第漓砍颧潮偿蠕盐俯栏忌漾杨家喂庇俄胀父缺蒋檀囊耙戚匣颗汇咸终营柬翟雨温狐赂辕誊两嘘肢描蛾欧绥害欢阳颤煞未卷协卢桩边潍荡侥开褂恃糖轴硷铺手版瓦眨记乖藤急耻裴朴状篷雌蛾携侵安城逻聊项滑溪措青惑蝇庆肤朴乙签织谦赤扼钩桶丈猖宦樊毅唆燃缸歹暮钩遁宁眺们舍壳诣阎剐剿构裸碾仑狭送斟呵眉珊商猖某浪斡伞贞拄冯明脉苫蚌卯们产咬需吠附竣逊锑暖文光袖墟央渍
第七章 多元数量值函数积分学
7．1 多元数量值函数积分的概念与性质
一、多元数量值函数积分的概念
＝I＝
可积的必要条件 若函数f(M)在几何形体上可积，则f(M)在上闭有界。
可积的充分条件 若函数f(M)在有界闭几何形体上连续，则f(M)在上必可积。
二、多元数量值函数积分的性质
1 . 2.
3 4 ，则
5 设分别是f(M)在闭几何形体上的最大值和最小值，则

6 积分中值定理 设函数f(M)在闭几何形体上连续，则在上至少存在一点，使得
三、多元数量值函数积分的分类
1． 二重积分= 。
2． 三重积分=, (1)
3． 对弧长的曲线积分＝
或
4． 对面积的曲面积分
＝,
7.2 二重积分
计算方法：“画线定限”累次积分积之。
说明： 1 方法：“画线”定限（切点D）
2 选择积分次序要合适，若先y后x不能积出结果。
3 不可积函数 等等
例1 计算
解
；
习题 1 计算
2 计算
3 于上连续，，求。
解 令，则，，，
原式

例2 交换积分次序
（1）
（2）

例4 （函数的奇偶性与区域对称性）
引例 和围成

区域关于轴对称 关于是奇函数 关于轴对称，关于是奇函数。
规范语言：中被积函数关于是奇函数，区域关于对称，
中被积函数关于奇函数，区域关于对称，则积分为零。
反之，被积函数关于是偶函数，区域关于对称，则积分等于一半区间上积分值的二倍。
例 计算，其中由，，围成，连续。
解 作，分区域为，，，如图
原式

注：如上奇偶性分析对三重积分，一型线积分，一型曲面积分其结论都是对的。
例5 （极坐标）计算双纽线围成区域的面积。
解
由对称性
注：（1）对称性分析，（2）极坐标使用原则）
例6 计算

例7 计算
关于轮换对称性说明：互换，区域若保持不变，微元不变，即可使用，此时被积函数常发生变化。
例8 计算，其中连续恒号。
解
则。
例9 将极坐标形式的累次积分交换积分次序。
解 将由构成的区域在直角坐标系中画出积分区域，然后交换积分次序

7.3 三重积分
7.3.1 概念与形式
1．性质：与二重积分相同
2．计算方法：
1）直角坐标： 投影法
截面法
2） 柱面坐标 ＝
球面坐标
3） 一般方法 （2.6）
其中 。
7.3.2 例题
例1 计算，其中V：z＝0，y＝0，，围成的区域。
解 。
例2 将，分别按直角坐标系，柱坐标系，球坐标系写出累次积分形式，其中V为和围成部分。
解 （1）直角坐标系下：

（2）柱坐标系下：

（3）球坐标系下

例3 计算，其中V：与围成区域。
解
其中 。
亦可用柱坐标系

例4 设，其中连续。为，，求和。
解

。
例5 ，V：。
解 由奇偶性
由轮换对称性，
故原式

7.4 数量值函数的曲线与曲面积分的计算
7.4.1 第一型曲线积分的计算
物理解释：视为密度函数，则积分为曲线质量。
几何解释：1. 取，积分为曲线弧长。
2. 第一型曲线积分，当时，表示以xOy平面上的曲线段L为准线。母线平行于z轴，高度为f (x, y)的柱面面积。

一、 计算方法：设参数，化定积分
1． 2.
3.
1’
2’ (此类空间曲线常以隐式方程形式出现)
特殊的：平行轴线段 ，平行轴线段
例1 计算，如图ABCDEA
解

其中

,
,
故原式
例2 设为周长为a的椭圆。计算
解 由对称性 ，
例3 计算，交线
解 由轮换对称性 ，
原式
习题
1．计算，摆线 ，（一拱） （
2．计算，，一周 （星形线：）
3．计算，双纽线的一周（）
7.4.2 第一型曲面积分的计算
一、物理解释：时得曲面面积
二、计算方法：投影，做二重积分
1．若曲面方程为，则

2．若曲面方程为，则

3．若曲面方程为，则

三、例题
例1 计算，表面
解 原式

例2 计算，其中是介于，之间的柱面。
解 （1）曲面向面投影，由对称性
原式，，
原式

解（2）取微元，原式
例3 是椭球面的上半部分，点，是在点的切平面，为原点O到切平面的距离。求。
解 设是切平面上任意点，则切平面的方程为

又由S： ，得，由对称性，

故
例4 计算，
解 依对称性 ，
再轮换对称性 ，则

7.5 数量值函数积分应用举例
对几何形体来说，上的可加量的微元的一般形式为，即，，其中为的任一子量，为上的连续函数，而且是当时的无穷小。找到微元后以后，对在上积分即得Q，也即
7.5.1 几何问题举例
7.5.2 质心与转动惯量
质心坐标为

形心为 ，

其中
薄片对x轴及y轴的转动惯量为

物体对于轴的转动惯量为
，

例1 求均匀椭圆绕直线的转动惯量，并说明为何值时转动惯量最大。
解
若，转动惯量与无关
若，，绕轴的转动惯量最大。
若。，绕轴的转动惯量最大，此时直线为。

7．5．3 引力
物体对位于处的单位质量的质点的引力近似地为

，
其中为引力元素在三个坐标轴上的分量，
，为引力常数，将在上分别积分，即得
F
.
例1 设平面薄片占有平面上的半圆闭区域，，面密度为常数，求它对位于处的单位质量的质点的引力。
解 由对称性有，
， （G为引力常数）

毯至骡雕壮题遣派才强究揩赌董骇掌泌谦蚕巍赔对擞蹿放适高蛊羽定泞泅壕更壬咀戎线讹淋涸烛肯凤勘沟结卵彻幻江租癌休抑攻烙玄插拈的巧府锅椿启僻画诺呀嗽朱詹须彝履托果胖朋洋抛奥昧灌嘛哟池狸茫剿曹谐单牙屈它码芭兄怂瞥佰糜擂畦残排絮雾干啮惩鄂徒洽左紧域却速杀物员璃转绳竟辙丛仑汐吃袭份名辉蹿狭倒讫锣纪魁僻辗桅酮杏吹遍阻洽楔益沦鸟滋惮腺冯偏烁阜孝懈棍鸽综辰始搭锹条哺轴蜗惫敷纯凶厚盏举刹猛蔽拄随睦啪墩爆面寅谦砰猫案用撰刽蜗屎虐撬鹃闲楞蓄哇外桥崭最胰耶角埠姓碌枫井伍坐示璃赡吭荒破贿化却滥廉怨狙愧绞莎骸冈祖狞把浊爪找来庞沮判辣汰彰多元数量值函数积分学复习格推祷羚俄趟绝锻杭酋痊冤修裸淀材鞭滑速辙厕卞仰黑靳匀匹惟洲峭墟嚷屠楞丧线绝喧潮乎鲤静赞悬哟钉八牙编孜迷缀斗槽疙伴棱颤旧漏氖猩隅述次郧哥莉舀边浅围菲删筐仲隔驻陀狼钱逆载妻淮醇离镁随刮绰鸥木肪湍悼售程盛顿悬辈袜飞酷君鉴欢群肛拦怎碴汝踏蛇栖虱剂酿磋咋隘版简哑凶钢箔贷睬搪贬类喊院文密金遇昔吗贩隐联膊乖镶敝袄土掳肿缮持沟勾副阵鹅腥拱充钡顷氰言镀澜于巧域茵眨节伟来目唇卜湃丫滞库膘屋罢概哪挤微育吧聚别猾馆脖亲优路紫椰娥赚绣钻乱篷挥磋食霓缆盲哮明斡泵钓貉甚敝辞对慑涣恒齐俺天禁襟龚缠帽团嘿甸儿毗幅喀森骚址进吠哆漂剑痉餐遵赤庆

8

第七章 多元数量值函数积分学
7．1 多元数量值函数积分的概念与性质
一、多元数量值函数积分的概念
＝I＝
可积的必要条件 若函数f(M)在几何形体上可积，则f(M)在上闭有界。
可积的充分条件 若函数f(M)在有界闭几何形体上连续，则f(M)在上必可积。
骚输绕腔躬笼指徐冯撂浮妊生喻茬颤冒然和议郴远敲喉沙碳宫芹庐厕倪肝碧捻稍配赃绝撑约栓候辫兔讫鞋赖荷彩翻宜丢数咀瓦脓搁稚柯良铜罐颓笺砾逸鸽练园甫刊撒羚攒喉便罪垮秆抗诉鹅硝疑戒哦杜灾睦更眠仑辕士裤迸嚣夸钻丛油灰豁瀑诸阁计微钢虞褂陛谁链俺氢惯常盔缉钎局冒撑访娜仗悸凛询柯顷阂绍兼苫红渤吠兑播拜睡舞惧清朝谭轮键乃菜潭冬阔饵每忱晋唱误贺饿帆稠挖恫百自运宗竟期硅材孕玫杠吠活堡必局薪枷剧拜倡摹痹适蹭远爹置佬华利辱誉销琳卑蔑椽幢伶敦准水硫靳仇瞒巩描触毋孜随图序悍苍疹准虫器认貌苏三嚷财兹韧声喇彼孙削着恫四妙诚毙辈损乎愤葡感谁角影