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开卷速查(三十八) 直接证明与间接证明
A级 基础巩固练
1．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为( )
A．a，b，c中至少有两个偶数
B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
C．a，b，c都是奇数
D．a，b，c都是偶数
解析：“恰有一个偶数”的对立面是“没有偶数或至少有两个偶数”．
答案：B
2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证<a”索的因应是( )
A．a－b＞0 B．a－c＞0
C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0
解析：<a⇔b2－ac<3a2
⇔(a＋c)2－ac<3a2
⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0
⇔－2a2＋ac＋c2<0
⇔2a2－ac－c2>0
⇔(a－c)(2a＋c)>0
⇔(a－c)(a－b)>0.
答案：C
3．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P、Q的大小关系是( )
A．P＞Q B．P＝Q
C．P＜Q D．由a的取值确定
解析：∵要证P＜Q，只要证P2＜Q2，
只要证：2a＋7＋2＜2a＋7＋2·，
只要证：a2＋7a＜a2＋7a＋12，
只要证：0＜12，
∵0＜12成立，
∴P＜Q成立.
答案：C
4．设x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三数( )
A．至少有一个不大于2 B．都小于2
C．至少有一个不小于2 D．都大于2
解析：a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6，
因此a，b，c至少有一个不小于2.
答案：C
5．要使－＜成立，则a，b应满足( )
A．ab＜0且a＞b
B．ab＞0且a＞b
C．ab＜0且a＜b
D．ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b
解析：要使－＜成立，
只要(－)3＜()3成立，
即a－b－3＋3＜a－b成立，
只要＜成立，
只要ab2＜a2b成立，
即要ab(b－a)＜0成立，
只要ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b成立.
答案：D
6．已知a＞b＞0，且ab＝1，若0＜c＜1，p＝logc，q＝logc2，则p、q的大小关系是( )
A．p＞q B．p＜q
C．p＝q D．p≥q
解析：∵＞ab＝1，
∴p＝logc＜0.
又q＝logc2
＝logc
＞logc＝logc＞0，
∴q＞p.
答案：B
7．设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为__________．
解析：a＝＋2，b＝2＋两式的两边分别平方，可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，明显，＜.
∴a＜b.
答案：a＜b
8．用反证法证明命题“若实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是__________．
解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a，b，c，d中没有一个是非负数，即a，b，c，d全是负数”．
答案：a，b，c，d全是负数
9．设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是__________．(填序号)
解析：若a＝，b＝，则a＋b>1，
但a<1，b<1，故①推不出；
若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；
对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，
反证法：假设a≤1且b≤1，
则a＋b≤2与a＋b＞2冲突，
因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
答案：③
10．设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；
(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
解析：(1)证明：假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，
即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，
由于a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，
即q＝0，这与公比q≠0冲突，
所以数列{Sn}不是等比数列．
(2)当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；
当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，
即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，
得q＝0，这与公比q≠0冲突．
综上，当q＝1时，数列{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列．
B级 力气提升练
11．假如△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，那么( )
A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形
D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形
解析：由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形．
由
得
那么A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和为180°相冲突．
所以假设不成立，又由已知可得△A2B2C2不是直角三角形，所以△A2B2C2是钝角三角形．
答案：D
12．已知函数f(x)＝x，a，b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系是( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
解析：≥≥，又函数f(x)＝x在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，
∴f≤f()≤f.
答案：A
13．[2021·徐州模拟]如图，AB，CD均为圆O的直径，CE⊥圆O所在的平面，BF∥CE，求证：
(1)平面BCEF⊥平面ACE；
(2)直线DF∥平面ACE.
证明：(1)由于CE⊥圆O所在的平面，BC⊂圆O所在的平面，所以CE⊥BC.
由于AB为圆O的直径，点C在圆O上，
所以AC⊥BC.
由于AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面ACE，
所以BC⊥平面ACE.
由于BC⊂平面BCEF，
所以平面BCEF⊥平面ACE.
(2)由(1)知AC⊥BC，又由于CD为圆O的直径，所以BD⊥BC.
由于AC，BC，BD在同一平面内，所以AC∥BD.
由于BD⊄平面ACE，AC⊂平面ACE，
所以BD∥平面ACE.
由于BF∥CE，同理可证BF∥平面ACE，
由于BD∩BF＝B，BD，BF⊂平面BDF，
所以平面BDF∥平面ACE.
由于DF⊂平面BDF，所以DF∥平面ACE.
14．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与x轴有两个不同的交点．若f(c)＝0，且0＜x＜c时，f(x)＞0.
(1)证明：是函数f(x)的一个零点；
(2)试比较与c的大小．
解析：(1)证明：∵f(x)的图像与x轴有两个不同的交点，
∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2.
∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根．
又x1x2＝，∴x2＝，
∴是f(x)＝0的一个根．
即是函数f(x)的一个零点．
(2)假设＜c，
∵＞0，
∴由0＜x＜c时，f(x)＞0，知f＞0，
这与f＝0冲突，∴≥c.
又∵≠c，∴＞c.
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