资源描述
板块三.直线与抛物线
1．椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的标准方程：
①，焦点是，，且．
②，焦点是，，且．
3．椭圆的几何性质（用标准方程争辩）：
⑴范围：，；
⑵对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；
⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的；
⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段．
⑸椭圆的离心率：，焦距与长轴长之比，，越趋近于，椭圆越扁；
反之，越趋近于，椭圆越趋近于圆．
4．直线：与圆锥曲线：的位置关系：
直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为：
设直线：，圆锥曲线：，由
消去（或消去）得：．
若，，相交；相离；相切．
若，得到一个一次方程：①为双曲线，则与双曲线的渐近线平行；②为抛物线，则与抛物线的对称轴平行．
因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．
5．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．
求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；
另外一种求法是假如直线的斜率为，被圆锥曲线截得弦两端点坐标分别为，则弦长公式为．
两根差公式：
假如满足一元二次方程：，
则（）．
6．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：
①从方程的观点动身，利用根与系数的关系来进行争辩，这是用代数方法来解决几何问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时留意在适当时利用图形的平面几何性质．
②以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．
典例分析
【例1】 已知抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】 点在直线上，若存在过的直线交抛物线于，两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是（ ）
A．直线上的全部点都是“点”
B．直线上仅有有限个点是“点”
C．直线上的全部点都不是“点”
D．直线上有无穷多个点（但不是全部的点）是“点”
【例3】 如图抛物线：和圆：，其中，直线经过的焦点，依次交，于四点，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
【例4】 斜率为的直线与圆锥曲线交于两点，若弦长，则 _
【例5】 抛物线与直线有两个不同的交点，则实数的范围是_____________．
【例6】 若直线与抛物线交于、两点，若线段的中点的横坐标是，则______．
【例7】 已知抛物线的一条弦，，，所在的直线与轴交于点，则 ．
【例8】 过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有_______条
【例9】 对于抛物线：，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线：与抛物线的位置关系是_______
【例10】 设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是_______．
【例11】 若曲线与直线没有公共点，则、分别应满足的条件是 ．
【例12】 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，若线段的长为，则_______．
【例13】 已知抛物线（为常数，）上不同两点、的横坐标恰好是关于的方程（为常数）的两个根，则直线的方程为_________________．
【例14】 抛物线截直线所得弦长的中点坐标为_______，弦长为______．
【例15】 已知抛物线，过定点作一弦，则_______．
【例16】 已知抛物线过点，
⑴求抛物线的焦点坐标与准线方程；
⑵直线：与抛物线交于两点，求线段的中点坐标及的值．
【例17】 ⑴设抛物线被直线截得的弦长为，求值．
⑵以⑴中的弦为底边，以轴上的点为顶点作三角形，当三角形的面积为时，求点坐标．
【例18】 已知点到定点（）与它到定直线的距离相等，
⑴求动点的轨迹方程；
⑵设过点的直线与的轨迹交于、两点，设，当直线与的斜率都存在时，求证直线、的斜率之和为．
【例19】 在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点作直线与抛物线相交于两点．若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值．
【例20】 过抛物线的对称轴上的定点作直线与抛物线相交于、两点，若点为定直线：上的任意一点，试证明：三条直线、、的斜率成等差数列．
【例21】 已知抛物线．过动点且斜率为的直线与该抛物线交于不同的两点、．若，求的取值范围．
【例22】 已知曲线为顶点在原点，以轴为对称轴，开口向右的抛物线，又点到抛物线的准线的距离为，
⑴求抛物线的方程；
⑵证明：过点的任意一条直线与抛物线恒有公共点；
⑶若⑵中的直线分别与抛物线交于上下两点，，，，，，，，又点，，，的纵坐标依次成公差不为的等差数列，试分析与的大小关系．
【例23】 已知抛物线和圆，过点作直线交抛物线于、，交圆于（自下而上依次为），且，求实数的取值范围．
【例24】 已知一条曲线在轴右边，上每一点到点的距离减去它到轴距离的差是1．
⑴求曲线的方程；
⑵是否存在正数，对于过点且与曲线有两个交点，的任始终线，都有?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【例25】 已知，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满足，
⑴当点在轴上移动时，求点的轨迹；
⑵过点作直线与轨迹交于、两点，若在轴上存在一点，使得是等边三角形，求的值．
【例26】 已知分别是椭圆的左、右焦点，曲线是以坐标原点为顶点，以为焦点的抛物线，自点引直线交曲线于、两个不同的交点，点关于轴的对称点记为．设．
⑴求曲线的方程；
⑵证明：；
⑶若，求的取值范围．
【例27】 已知抛物线，点关于轴的对称点为，直线过点交抛物线于两点．
⑴证明：直线的斜率互为相反数；
⑵求面积的最小值；
⑶当点的坐标为，且．依据⑴⑵推想并回答下列问题（不必说明理由）：
①直线的斜率是否互为相反数？
②面积的最小值是多少？
【例28】 过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于、两点，自、向直线作垂线，垂足分别为、．
⑴当时，求证：⊥；
⑵记、、的面积分别为、、，是否存在，使得对任意的，都有成立．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【例29】 已知曲线是到点和到直线距离相等的点的轨迹．是过点的直线，是上（不在上）的动点；、在上，，轴（如图）．
⑴求曲线的方程；
⑵求出直线的方程，使得为常数．
【例30】 已知抛物线：，点在轴的正半轴上，过的直线与相交、两点，为坐标原点．
⑴若，的斜率为1，求以为直径的圆的方程；
⑵若存在直线使得，，成等比数列，求实数的取值范围．
【例31】 已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于、两点，点关于轴的对称点为．
⑴证明：点在直线上；
⑵设，求的内切圆的方程 ．
【例32】 已知抛物线及定点，是抛物线上的点，设直线与抛物线的另一交点分别为．
求证：当点在抛物线上变动时（只要存在且与是不同两点），直线恒过确定点，并求出定点的坐标
【例33】 在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的两点．
⑴假如直线过抛物线的焦点，求的值；
⑵假如证明直线必过确定点，并求出该定点．
【例34】 在平面直角坐标系中，设点，直线，点在直线上移动，是线段与轴的交点， ，．
⑴求动点的轨迹的方程；
⑵记的轨迹的方程为，过点作两条相互垂直的曲线的弦、，设、的中点分别为，．
求证：直线必过定点．
【例35】 已知：为坐标原点，点、、、满足，，，，．
⑴当变化时，求点的轨迹方程；
⑵若是轨迹上不同与的另一点，且存在非零实数，使得，
求证：．
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