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第十章 第五节
一、选择题
1．(文)(2022·中原名校联考)设f(x)＝x2－2x－3(x∈R)，在区间[－π，π]内随机取一个数x，则f(x)<0的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 由f(x)<0得，x2－2x－3<0，解得－1<x<3.
又－π≤x≤π，所求概率为P＝＝.
(理)(2022·河北名校名师俱乐部模拟)在区间[1,5]上任取一个数m，则函数y＝x2－4x－2(0≤x≤m)的值域为[－6，－2]的概率是( )
A. B．
C. D．
[答案] C
[解析] 当x＝2时，y＝－6；当x＝0或4时，y＝－2.即m∈[2,4]时，函数y＝x2－4x－2(0≤x≤m)的值域为[－6，－2]，则所求概率为P＝＝.
2．(文)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )
A. B．
C. D．
[答案] D
[解析] 3个红球记为a、b、c,2个白球记为1、2.则从袋中取3个球的全部方法是：abc，ab1，ab2，ac1，ac2，a12，bc1，bc2，b12，c12.共10个基本大事，则至少有一个白球的基本大事是ab1，ab2，ac1，ac2，a12，bc1，bc2，b12，c12共9个．
∴至少有一个白球的概率为.故选D.
(理)在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，假如随机选择3个点，刚好构成直角三角形的概率是( )
A. B．
C. D．
[答案] C
[解析] 从10个点中任取三个有C种方法，能构成直角三角形时，必需有两点连线为直径，这样的直径有5条，
∴能构成直角三角形5×8＝40个，
∴概率P＝＝.
3．(文)(2022·豫东、豫北十所名校联考)已知a，b∈[－1,1]，则函数f(x)＝ax＋b在区间(1,2)上存在一个零点的概率为( )
A. B．
C. D．
[答案] C
[解析] 由于f(x)＝ax＋b在(1,2)上存在零点，
所以f(1)·f(2)<0，即(a＋b)(2a＋b)<0，
作出线性约束条件的可行域如图所示，
阴影部分面积为2××1×＝，
所以概率为P＝＝.
(理)(2022·河北衡水中学第五次调研)已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率为( )
A. B．1－
C. D．1－
[答案] D
[解析] 如图，当点P落在图中阴影部分时，P到菱形的四个顶点A、B、C、D的距离都大于1，
∴P＝＝1－.
4．(文)m∈{－2，－1,0,1,2,3}，n∈{－3，－2，－1,0,1,2}，且方程＋＝1有意义，则方程＋＝1可表示不同的双曲线的概率为( )
A. B．1
C. D．
[答案] D
[解析] 由题设知或
1°时有不同取法3×3＝9种．
2°时有不同取法2×2＝4种．
∴所求概率P＝＝.
(理)(2022·河北邯郸二模)甲、乙、丙3位老师支配在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多支配1人，则恰好甲支配在另外两位老师前面值班的概率是( )
A. B．
C. D．
[答案] A
[解析] 第一种状况：甲支配在第一天，则有A＝12种；其次种状况：甲支配在其次天，则有A＝6种；第三种状况：甲支配在第三天，则有A＝2种，所以所求概率为＝.
5．(2022·石家庄市质检)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2－x＋a＝0无实根的概率为( )
A. B．
C. D．
[答案] C
[解析] 方程x2－x＋a＝0无实根，则Δ＝1－4a<0，
∴a>，故所求概率P＝＝.
6．已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC<VS－ABC的概率是( )
A. B．
C. D．
[答案] A
[解析] 当P在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P＝1－＝，故选A.
二、填空题
7．(2022·银川模拟)将一颗骰子投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为________．
[答案]
[解析] 圆心(2,0)到直线ax－by＝0的距离d＝<时，直线与圆相交，∴b>a，满足b>a的共有15种状况，因此直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为P＝＝.
8．一排有5个凳子，两人各随机就座，则每人两侧都有空凳的概率为________．
[答案]
[解析] 把两个坐了人的凳子记作1，三个未坐人的凳子记作0，则问题转化为将三个0和两个1排一列，1不相邻且不在两头的概率问题．全部排法种数共有10种，符合条件的只有1种，故所求概率为P＝.
9．从集合{(x，y)|x2＋y2≤4，x∈R，y∈R}内任选一个元素(x，y)，则x、y满足x＋y≥2的概率为________．
[答案]
[解析] 即图中弓形面积占圆面积的比例，属面积型几何概型，概率为.
三、解答题
10．(文)(2022·山西四校联考)某班优秀生16人，中等生24人，学困生8人，现接受分层抽样的方法从这些同学中抽取6名同学做学习习惯调查，
(1)求应从优秀生、中等生、学困生中分别抽取的同学人数；
(2)若从抽取的6名同学中随机抽取2名同学做进一步数据分析，
①列出全部可能的抽取结果；
②求抽取的2名同学均为中等生的概率．
[解析] (1)优秀生、中等生、学困生中分别抽取的同学人数为2、3、1.
(2)①在抽取到的6名同学中，3名中等生分别记为A1，A2，A3,2名优秀生分别记为A4，A5,1名学困生记为A6，则抽取2名同学的全部可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②从这6名同学中抽取的2名同学均为中等生(记为大事B)的全部可能结果为{A1A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种，所以P(B)＝＝.
(理)已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.
(1)若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；
(2)若a，b都是从区间[0,4]上任取的一个数，求f(1)>0成立的概率．
[解析] (1)a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，则基本大事总数为N＝5×5＝25个．
函数有零点的条件为Δ＝a2－4b≥0，即a2≥4b.
由于大事“a2≥4b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，
所以大事“a2≥4b”的概率为P＝，
即函数f(x)有零点的概率为.
(2)a，b都是从区间[0,4]上任取的一个数，
f(1)＝－1＋a－b>0，即a－b>1，
此为几何概型．如图可知，
大事“f(1)>0”的概率为P＝＝.
一、选择题
11．从－1、0、1、2这四个数中选出三个不同的数作为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数组成不同的二次函数，其中使二次函数有变号零点的概率为( )
A. B．
C. D．
[答案] A
[解析] 首先取a，∵a≠0，∴a的取法有3种，再取b，b的取法有3种，最终取c，c的取法有2种，
∴共组成不同的二次函数3×3×2＝18个．
f(x)若有变号零点，不论a>0还是a<0，均应有Δ>0，即b2－4ac>0，∴b2>4ac.
①首先b取0时，a、c须异号，a＝－1，则c有2种，a取1或2，则c只能取－1，∴共有4种．
②b＝1时，若c＝0，则a有2种，若c＝－1，a只能取2.
若c＝2，则a＝－1，共有4种．
③若b＝－1，则c只能取0，有2种．
④若b＝2，取a有2种，取c有2种，共有2×2＝4种．
综上所述，满足b2>4ac的取法有4＋4＋2＋4＝14种，
∴所求概率P＝＝.
12．(文)(2022·烟台模拟)在一个盒子中有编号为1,2的红色球2个，编号为1,2的白色球2个，现从盒子中摸出两个球，每个球摸到的概率相同，则摸出的两个球中既含有2种不同颜色又含有2个不同编号的概率是( )
A. B．
C. D．
[答案] C
[解析] 设红色球为A1，A2，白色球为B1，B2，从中任取2个球，则全部不同的取法有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(B1，B2)，共6种不同取法，其中颜色不同且编号不同的情形有(A1，B2)，(A2，B1)2种，∴所求概率P＝＝，故选C.
(理)(2022·东营模拟)在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为( )
A. B．
C. D．
[答案] B
[解析] 从6个顶点中任取4个顶点有C＝15种不同取法，其中能构成梯形的情形有6个，∴所求概率P＝＝.
13．若区域M ＝{(x，y)||x|＋|y|≤2}，双曲线－y2＝1的两条渐近线将平面分成四部分，其中焦点所在的两部分区域记作N，在区域M内任取一点P(x，y)，则点P落在区域N内的概率为( )
A. B．
C. D．
[答案] B
[解析] 双曲线的焦点在x轴上，两渐近线方程为y＝x与y＝－x，区域M为正方形ABCD，其面积S＝8，在M中任取一点P，落在区域N内的点P构成的区域为图中阴影部分，
由解得
∴阴影部分的面积S1＝4×(×2×)＝，
∴所求概率为P＝＝.
14．(2022·辽宁抚顺二中期中)在可行域内任取一点，其规章如流程图所示，则能输出数对(x，y)的概率是( )
A. B．
C. D．
[答案] B
[解析] 画出可行域如图所示，正方形内部面积为2，圆内部面积为，由几何概型的概率公式得P＝＝.
二、填空题
15．(文)在体积为V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S－APC的体积大于的概率是________．
[答案]
[解析] 由题意可知>，三棱锥S－ABC的高与三棱锥S－APC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，则PM、BN分别为△APC与△ABC的高，所以＝＝>，又＝，所以>，故所求的概率为(即为长度之比)．
(理)先后两次抛掷同一枚骰子，将得到的点数分别记为a、b.将a、b、5分别作为三条线段的长，则这三条线段能构成等腰三角形的概率是________．
[答案]
[分析] 本题有两个要点：一是构成三角形，须满足较小的两个数的和大于第三个数；二是构成等腰三角形，须有两个数相等．
[解析] 基本大事的总数为6×6＝36.
∵三角形的一边长为5，
∴当a＝1时，b＝5符合题意，有1种状况；
当a＝2时，b＝5符合题意，有1种状况；
当a＝3时，b＝3或5符合题意，即有2种状况；
当a＝4时，b＝4或5符合题意，有2种状况；
当a＝5时，b∈{1,2,3,4,5,6}符合题意，即有6种状况；
当a＝6时，b＝5或6符合题意，即有2种状况．
故满足条件的不同状况共有14种，所求概率为
P＝＝.
16．(2022·河南南阳三联)已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f ′(x)g(x)<f(x)g′(x)，f(x)＝axg(x)，＋＝，则关于x的方程abx2＋x＋＝0(b∈(0,1))有两个不同实根的概率为________．
[答案]
[解析] ∵f(x)＝axg(x)，∴＝ax，
∵f ′(x)g(x)<f(x)g′(x)，g(x)≠0，
∴()′＝(ax)′＝axlna<0，
即lna<0，∴0<a<1.
又＋＝，
∴a＋＝，即a＝.
∵关于x的方程abx2＋x＋＝0(b∈(0,1))有两个不同实根，
∴Δ＝2－10ab＝2－5b>0，即0<b<，
故所求概率为P＝＝.
三、解答题
17．(2022·西北工业高校附中六模)已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.
(1)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；
(2)设点(a，b)是在区域内随机选取的点，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．
[解析] (1)∵函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝，
要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a>0且≤1，即2b≤a.若a＝1，则b＝－1；若a＝2，则b＝－1,1；若a＝3，则b＝－1,1.
∴大事包含基本大事的个数是1＋2＋2＝5，∴所求大事的概率为P＝＝.
(2)由(1)知当且仅当2b≤a且a>0时，函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为构成所求大事的区域为三角形部分．
由得交点坐标为(，)，
∴所求大事的概率为P＝＝.
18．(文)(2021·安徽省示范高中一联)某学校共有30至50岁之间的(包括30与不包括50)数学老师15人，其年龄分布茎叶图如图所示，从中选取3人参与支教.
茎
叶
3
0 2 2 4 4 5 6 6 7 7
4
0 1 2 4 x
(1)若老师年龄分布的极差为15，求老师的平均年龄；
(2)若选出的3人中有2名男老师1名女老师，将他们支配到两所学校，每校至少有一人，则2名男老师分在同一所学校的概率为多少？
[解析] (1)极差为15，所以40＋x－30＝15⇒x＝5.
＝＝37.
(2)记两名男老师为A、B，一名女老师为a，支配到两校的老师状况如表：基本大事总数为6,2名男老师分在同一学校的基本大事有2个，∴P＝＝.
两所学校为甲、乙
甲校
乙校
A、B
a
A、a
B
B、a
A
A
B、a
B
A、a
a
A、B
(理)(2021·广州执信中学期中)袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量ξ的分布列和数学期望．
[解析] (1)一次取出的3个小球上的数字互不相同的大事记为A，则
P(A)＝＝.
答：一次取出的3个小球上的数字互不相同的概率为.
(2)由题意ξ＝2,3,4,5，
∵P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝.
∴随机变量ξ的概率分布列为
ξ
2
3
4
5
P
E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.
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