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限时练(六)
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一、选择题
1．已知R是实数集，M＝{x|＜1}，N＝{y|y＝＋1}，则N∩(∁RM)＝
( )．
A．(1,2) B．[0,2]
C．∅ D．[1,2]
解析 ∵＜1，∴＞0，∴x＜0或x＞2，∴M＝{x|x＜0或x＞2}，∵y＝＋1≥1，∴N＝{y|y≥1}，∴N∩(∁RM)＝[1,2]．
答案 D
2．在复平面内，复数(i是虚数单位)所对应的点位于( )．
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 ∵＝＝＝－＋i，∴－＋i对应的点为(－，)，在其次象限
答案 B
3．在检验某产品直径尺寸的过程中，将某尺寸分成若干组，[a，b)是其中的一组，抽查出的个体数在该组上的频率为m，该组在频率分布直方图上的高为h，则|a－b|等于( )．
A. B．
C．mh D．与h，m无关
解析 依据频率分布直方图的概念可知，|a－b|×h＝m，由此可知|a－b|＝.
答案 A
4．给定命题p：函数y＝ln[(1－x)(1＋x)]为偶函数；命题q：函数y＝为偶函数，下列说法正确的是( )．
A．p∨q是假命题 B．(綈p)∧q是假命题
C．p∧q是真命题 D．(綈p)∨q是真命题
解析 对于命题p：y＝f(x)＝ln[(1－x)(1＋x)]，令(1－x)(1＋x)＞0，得－1＜x＜1，∴函数f(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称，又∵f(－x)＝ln[(1＋x)(1－x)]＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数；∴命题p为真命题；对于命题q：y＝f(x)＝，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝＝＝＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数，∴命题q为假命题．∴(綈p)∧q是假命题，故选B
答案 B
5．等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列前13项的和是
( )．
A．13 B．26
C．52 D．156
解析 ∵3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，
∴6a4＋6a10＝24，∴a4＋a10＝4，∴S13＝＝＝＝26.
答案 B
6．如图所示的程序框图输出的全部点都在函数( )．
A．y＝x＋1的图象上
B．y＝2x的图象上
C．y＝2x的图象上
D．y＝2x－1的图象上
解析 由程序框图知：x＝1，y＝1，输出(1,1)；x＝2，y＝2，输出(2,2)；x＝3，y＝4，输出(3,4)；x＝4，y＝8，输出(4,8)；x＝5，y＝16，结束循环，点(1,1)，(2,2)，(3,4)，(4,8)在y＝2x－1的图象上．
答案 D
7．把边长为的正方形ABCD沿对角线BD折起，连接AC，得到三棱锥C－ABD，其正视图、俯视图为全等的等腰直角三角形(如图所示)，则其侧视图的面积为( )．
A. B．
C．1 D．
解析 由条件知直观图如图所示，其中M是BD的中点，则CM⊥平面ABD，侧视图就是Rt△CMA，CM＝AM＝1，CM⊥AM，
S△CMA＝×1×1＝.
答案 B
8．已知等边△ABF的顶点F是抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点，顶点B在抛物线的准线l上且AB⊥l，则点A的位置( )．
A．在C1开口内 B．在C1上
C．在C1开口外 D．与p值有关
解析 设B(－，m)，由已知有AB中点的横坐标为，则A(，m)，△ABF是边长|AB|＝2p的等边三角形，即|AF|＝＝2p，
∴p2＋m2＝4p2，
∴m＝±p，∴A(，±p)，代入y2＝2px中，得点A在抛物线上．
答案 B
9．若函数y＝f(x)＋cos x在[－，]上单调递减，则f(x)可以是( )．
A．1 B．cos x
C．－sin x D．sin x
解析 －sin x＋cos x＝cos x－sin x＝cos (x＋)，
∵－≤x≤，∴0≤x＋≤π，
∴函数y＝－sin x ＋cos x在[－，]上为减函数．
答案 C
10．已知向量a，b，满足|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则向量a，b的夹角的取值范围是( )．
A. B.
C. D．
解析 设a、b的夹角为θ，∵f(x)＝x3＋|a|x2＋|a||b|cos θ·x＝x3＋|a|x2＋|a|2cos θ·x，∴f′(x)＝x2＋|a|x＋|a|2cos θ，∵函数f(x)有极值，∴f′(x)＝0有2个不同的实根，∴Δ＝|a|2－2|a|2cos θ＞0，即1－2cos θ＞0，∴cos θ＜，∴＜θ≤π.
答案 C
11．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为( )．
A. B．2
C. D．
解析 设P点在双曲线右支上，由题意得
故|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，由条件得∠PF1F2＝30°，由＝，
得sin ∠PF2F1＝1，∴∠PF2F1＝90°，在Rt△PF2F1中，2c＝＝2a，∴e＝＝.
答案 C
12．已知函数f(x)＝则方程f(x)＝ax恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是(注：e为自然对数的底数)( )．
A. B．
C. D．
解析 ∵y＝ln x(x＞1)，∴y′＝，设切点为(x0，y0)，
∴切线方程为y－y0＝(x－x0)，∴y－ln x0＝(x－x0)，若其与y＝ax相同，则a＝，ln x0－1＝0，∴x0＝e，∴a＝.当直线y＝ax与y＝x＋1平行时，直线为y＝x，当x＝1时，ln x－x＝ln 1－＜0，当
x＝e时，ln x－x＝ln e－e＞0，当x＝e3时，ln x－x＝ln e3－e3＜0，∴y＝ln x与y＝x的图象在(1，e)，(e，e3)上各有1个交点，∴直线y＝ax在y＝x和y＝x之间时，与函数f(x)的图象有2个交点，所以a∈，故选B.
答案 B
二、填空题
13．在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P，则△PAB的面积小于的概率是______．
解析 如图，PE⊥AB，设矩形的边长AB＝a，BC＝b，PE＝h，由题意得，ah≤＝，∴h≤，由几何概型的概率计算公式得所求概率P＝＝.
答案
14．已知点P的坐标(x，y)满足过点P的直线l与圆C：x2＋y2＝14相交于A、B两点，则|AB|的最小值为________．
解析 要使弦AB最短，只需弦心距最大，依据图象知点P(1,3)到圆心的距离最大，则|OP|＝，圆的半径为，∴|AB|min＝2＝4.
答案 4
15．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，设Sn为数列{an}的前n项和，对于任意的n＞1，n∈N*，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)都成立，则S10＝________.
解析 ∵∴an＋2＋an＝2an＋1，
∴数列{an}从其次项开头为等差数列，当n＝2时，S3＋S1＝2S2＋2，∴a3＝a2＋2＝4，∴S10＝1＋2＋4＋6＋…＋18＝1＋＝91.
答案 91
16．已知g(x)＝－x2－4，f(x)为二次函数，满足f(x)＋g(x)＋f(－x)＋g(－x)＝0，且f(x)在[－1,2]上的最大值为7，则f(x)＝______.
解析 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则由题意可得f(x)＋g(x)＋f(－x)＋g(－x)＝2ax2＋2c－2x2－8＝0，得a＝1，c＝4.明显二次函数f(x)在区间[－1,2]上的最大值只能在x＝－1时或x＝2时取得．当x＝－1函数取得最大值7时，解得b＝－2；当x＝2函数取得最大值7时，解得b＝－，所以f(x)＝x2－2x＋4或f(x)＝x2－x＋4.
答案 x2－2x＋4或x2－x＋4
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