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高三双周练数学试卷
2021.4.18.
一、填空题：
1．已知集合，，则等于 ▲ ．
2．已知虚数满足，则 ▲ ．
3．抛物线的准线方程为 ▲ ．
4．函数的单调递减区间为 ▲ ．
5．某射击运动员在四次射击中分别打出了10，x，10，8环的成果，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的标准差是 ▲ ．
6．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 ▲ ．
7．角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是 ▲ ．
8．若一个正四棱锥的底面边长为，侧棱长为3cm，则它的体积为 ▲ cm3.
9．若实数满足，则的最大值为_____▲____.
10．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6）先后抛掷两次得到的点数、分别作为点的横、纵坐标，则点不在直线下方的概率为 ▲ .
11.已知函数，若存在，使，则实数的取值范围____▲_____.
12．已知点，圆点是圆上任意一点，若为定值，则____▲____.
13．在正项等比数列中，，则的最小值为____▲___.
14.已知函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_____▲______.
二、解答题：本大题共6小题，共90分．
15．(本小题满分14分)
如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是平行四边形.
（1）若CF⊥AE，AB⊥AE，求证：平面ABFE⊥平面CDEF；
A
B
C
D
E
F
（2）求证：EF//平面ABCD.
16．(本小题满分14分)
已知函数，点分别是函数图象上的最高点和最低点．
（1）求点的坐标以及的值；
（2）设点分别在角的终边上，求的值．
17．(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xoy中，椭圆C ：的离心率为，右焦点F（1,0），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：相切于点M.
O
P
M
Q
F
x
y
（1）求椭圆C的方程；
（2）求|PM|·|PF|的取值范围；
（3）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值.
18．(本小题满分16分)
如图（1），有一块外形为等腰直角三角形的薄板，腰AC的长为a米（a为常数），现在斜边AB上选一点D，将△ACD沿CD折起，翻扣在地面上，做成一个遮阳棚，如图（2）. 设△BCD的面积为S，点A到直线CD的距离为d. 实践证明，遮阳效果y与S、d的乘积Sd成正比，比例系数为k（k为常数，且k>0）.
（1）设∠ACD=，试将S表示为的函数；
A
B
C
D
图（1）
A
B
C
D
图（2）
S
（2）当点D在何处时，遮阳效果最佳（即y取得最大值）？
19．（本小题满分16分）
对于函数，假如它们的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则称函数和在点P处相切，称点P为这两个函数的切点.设函数,.
（1）当,时, 推断函数和是否相切？并说明理由；
（2）已知，，且函数和相切，求切点P的坐标；
（3）设，点P的坐标为，问是否存在符合条件的函数和，使得它们在点P处相切？若点P的坐标为呢？（结论不要求证明）
20．（本小题满分16分）
设数列的通项公式为，数列定义如下：对于正整数，是使得不等式成立的全部中的最小值.
（1）若，求;
（2）若，求数列的前项和公式;
（3）是否存在和，使得？假如存在，求和的取值范围？假如不存在，请说明理由.
班级________________ 姓名________________ 学号________________
…………………………………………装…………………………………订…………………………………线…………………………………………
附加题部分：
21B．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值1的一个特征向量为α2＝ ．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．
21C．选修4—4：极坐标与参数方程
已知圆的极坐标方程为：．
（1）将极坐标方程化为一般方程；
（2）若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．
22．(本题满分10分)
为增加市民的节能环保意识,某市面对全市征召义务宣扬志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：．
（1）求图中的值并依据频率分布直方图估量这500名志愿者中年龄在岁的人数；
（2）在抽出的100名志愿者中按年龄接受分层抽样的方法抽取20名参与中心广场的宣扬活动，再从这20名中接受简洁随机抽样方法选取3名志愿者担当主要负责人，记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为，求的分布列及数学期望．
23. (本题满分10分)
若一个正实数能写成的形式，则称其为“兄弟数”.
求证：（1）若为“兄弟数”，则也为“兄弟数”；
（2）若为“兄弟数”，是给定的正奇数，则也为“兄弟数”.
数学试卷参考答案及评分标准 2021.4
1． 2． 3． 4． 5．1 6．2 7． 8． 9． 10． 11. 12. 13.20 14.
15．（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB//CD，又∵AB⊥AE，
∴AE⊥CD又∵AE⊥CF，CD∩CF=C，CD、CF平面CDEF，∴AE⊥平面CDEF，又∵AE平面ABFE，∴平面ABFE⊥平面CDEF………7分
（2）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB//CD
又∵AB平面CDEF，CD平面CDEF，∴AB//平面CDEF
又∵AB平面ABFE，平面ABFE∩平面CDEF=EF，∴AB//EF
又∵EF平面ABCD，AB平面ABCD，∴EF//平面ABCD.………14分
17.（1）…………2分
∴c=1，a=2，∴，∴椭圆方程为…………4分
（2）设，则
PM=，………………6分
PF=…………8分 ∴PM·PF=，
∵，∴|PM|·|PF|的取值范围是（0,1）.…………10分
（3）法一：①当PM⊥x轴时，P，Q或，
由解得……………………12分
②当PM不垂直于x轴时，设，PQ方程为，即
∵PQ与圆O相切，∴，∴
∴………………13分
又，所以由得……14分
∴
==12，∴……16分
法二：设，则直线OQ：，∴，
∵OP⊥OQ，∴OP·OQ=OM·PQ
∴………12分
∴
∴，∴………………14分
∵，∴，∴，∴……………16分
18. （1）△BCD中，
∴，∴…………4分
∴ ，……6分（其中范围1分）
（2）…………8分
………………10分
令，则，
∴在区间上单调递增，…………13分
∴当时取得最大值，此时，
即D在AB的中点时，遮阳效果最佳.………………16分
19.（1）结论：当,时,函数和不相切.…1分
理由如下：由条件知，由，得， 又由于 ，，所以当时，，，所以对于任意的，.
当,时,函数和不相切. …3分
（2）若，则，，设切点坐标为 ，其中,由题意，得 ①， ② ，由②得 ，
代入①得.（*） 由于 ，且，所以.
设函数 ，，则 .
令 ，解得或(舍). …8分
当变化时，与的变化状况如下表所示，
1
0
↗
↘
所以当时，取到最大值，且
当时.
因此，当且仅当时.所以方程（*）有且仅有一解.
于是 ，因此切点P的坐标为. …12分
（3）当点的坐标为时，存在符合条件的函数和，使得它们在点处相切； …14分
当点的坐标为时，不存在符合条件的函数和，使得它们在点处相切. …16分
20.（1）由题意，得，解，则，所以成立的全部中的最小整数为7，即.
（2）由题意，得，对于正整数由，得,
依据的定义可知，当时，
当时，
∴
=
（3）假设存在和满足条件，由不等式及得
∵，依据的定义可知，对于任意正整数的都有
即对任意的正整数都成立.
当（或）时，得
这与上述结论冲突.
当即时，，∴
∴所以存在和，使得满足条件的，，且，的取值范围分别是：
.
数学附加题参考答案
21B．解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝可得，
＝6，即c＋d＝6，
由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2＝，
可得 ＝，即3c－2d＝－2，
解得即A＝，所以A的逆矩阵是．
C．解：（1）；
（2）圆的参数方程为 所以，
那么x＋y最大值为6，最小值为2．
22．解：（1）由于小矩形的面积等于频率，所以除外的频率和为0.70，
所以，所以500名志愿者中，年龄在岁的人数为(人)；……3分
（2）用分层抽样的方法，从中选取20名，
则其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名．
故的可能取值为0,1,2,3，
，，
，,
故的分布列为：
0
1
2
3
所以．…………10分
23.证明：（1）设，
则，是“兄弟数”
（2）设，则
而
故
，
不妨记：
同理：由，不妨记：
进而，，即
又，故
因此亦为“兄弟数”.
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