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伸缩变换(含答案)

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伸缩变换
考点一.伸缩变换
（1）若点P（-2016,2017）经过伸缩变换后的点在上，求k？
解：由题意可得：。

（2）求圆经过伸缩变换后得到新曲线方程？
解：设 圆上点(x,y),新曲线上点（），由题意可得：。
（3）曲线C经过伸缩变换后得到新曲线方程为，求曲线C？
解：设C上点(x,y),新曲线上点（），由题意可得：。
（4）在同一平面直角坐标系中，将直线x-2y=2，变成直线，求满足图像变换的伸缩变换？
解：由题：，则变换时横坐标不变，纵坐标变为原来4倍，则。
（5）在同一平面直角坐标系中，将椭圆，变成，求满足图像变换的伸缩变换？
解：由题：，则。

考点二.变换与极坐标，参数方程综合
1.将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
(Ⅰ)写出C的参数方程；
(Ⅱ)设直线l:2x+y−2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程。
解：(Ⅰ)在曲线C上任意取一点(x,y),由题意可得点(x, )在圆上，
∴ ,化为参数方程为.
(Ⅱ)由故所求的直线的方程为：x−2y+=0，极坐标方程为：ρ=.
2. 在直角坐标系xOy中,将曲线C: 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得到曲线C1;以O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2极坐标方程为：.
(1)求曲线C1的极坐标方程；
(2)已知点M(1,0),直线l的极坐标方程为,它与曲线C1的交点为P与曲线C2的交点为Q，求△MPQ的面积。
解：(1)曲线C1的参数方程为，∴曲线C1的普通方程为：
(2)设点P,Q的极坐标分别为(ρ1,θ1),(ρ2,θ2)，，
又M到直线l的距离为，∴△MPQ的面积S△MPQ=。
3. 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：
（1）求点A（，-2）经过φ变换所得点A′的坐标；（2）求直线l：y=6x经过φ变换后所得直线l′的方程.
解：（1）点（，-2）代入，∴A′（1，-1）为所求.
（2）设直线l′上任意一点P′（x′，y′），由上述条件知，代入y=6x得2y′=6×x′，
∴y′=x′，即y=x为所求.
4. 已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程是：（t为参数），
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程，直线l的普通方程；
（Ⅱ）将曲线C横坐标缩短为原来的，再向左平移1个单位，得到曲线C1，求曲线C1上点到直线l距离最小值。
解：（Ⅰ）曲线C的方程为，直线l的方程是：；
（Ⅱ）将曲线C横坐标缩短为原来的，再向左平移1个单位，得到曲线曲线C1的方程为，
设曲线C1上的任意点，到直线l距离，
到直线l距离的最小值为。

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