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高考考余弦定理证明

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从高考考余弦定理证明谈起
【题1】 叙述并证明勾股定理（1979年全国卷，四题）.
【说明】 这道大题，在总分为110分的考卷上，理科占6分，文科占9分.理科的评分标准是：（1）叙述勾股定理（2分）；（2）证明勾股定理（4分）.
【题2】 （1980·理科四题（满分8分））写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明
【插话】 对这道题目，人们虽然不感到新鲜，但有一个期待，期待着标准答案中有“新鲜东西”出现.后来一看，非常“失望”，该题对余弦定理的证明，依赖的仍然是勾股定理.
【题3】（2010年四川）
（文）（19）（本小题满分12分）（Ⅰ）1证明两角和的余弦公式；
2由推导两角和的正弦公式.
（Ⅱ）已知，求
解：(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P4.
则P1(1,0),P2(cosα,sinα)
P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β))
由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得
[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2
展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.…②由①易得cos(－α)＝sinα,sin(－α)＝cosα
sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)]
＝cos(－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)
＝sinαcosβ＋cosαsinβ……………………………………6分
(2)∵α∈(π,),cosα＝－
∴sinα＝－
∵β∈(，π),tanβ＝－
∴cosβ＝－,sinβ＝
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝(－)×(－)－(－)×w_w w. k#s5_u.c o*
＝
（理）（19）（本小题满分12分）
（Ⅰ）1证明两角和的余弦公式；
2由推导两角和的正弦公式.
（Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求cosC.

解：(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P4.
则P1(1,0),P2(cosα,sinα)P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β)) w_w w. k#s5_
u.c o*m由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得
[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2
展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………4分
②由①易得cos(－α)＝sinα,sin(－α)＝cosα
sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)]
＝cos(－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)
＝sinαcosβ＋cosαsinβ……………………………………6分
(2)由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c
则S＝bcsinA＝
＝bccosA＝3＞0w_w w. k#s5_u.c o*m
∴A∈(0, ),cosA＝3sinA
又sin2A＋cos2A＝1，∴sinA＝,cosA＝
由题意，cosB＝,得sinB＝
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝w_w w. k#s5_u.c o*m
故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－…………………………12分
【题4】（2011年陕西）

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