2020年淄博市高三第二次模拟数学试题(含答案)上课讲义.docx

2020年淄博市高三第二次模拟数学试题(含答案)

精品文档
按秘密级事项管理★启用前
部分学校高三教学质量检测
数 学
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2. 回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 60 分）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
N =
1．已知集合 M = {x -4 < x < 2}，N = {x x2 - x - 6 < 0} ，则 M

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
A．{x -4 < x < 3}
B．{x -4 < x < -2}
C．{x -2 < x < 2}
D．{x 2 < x < 3}

2. 已知复数 z 满足(1+2i)z = 4 + 3i ，则 z 的共轭复数是

A． 2 - i B． 2+i C．1+2i D．1- 2i

3. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙4．设a, b 为两个平面，则a //b 的充要条件是
A．a 内有无数条直线与 b 平行 B．a 内有两条相交直线与 b 平行
C．a, b 平行于同一条直线 D．a, b 垂直于同一平面
5．已知曲线 y = ax-1 +1(a > 0 且a ¹ 1) 过定点(k,b) ，若m + n = b ，且m > 0, n > 0 ，

则 4 + 1 的最小值为
m n

A． 9
2

6. 函数 y =


2x3 2x + 2- x
B． 9 C． 5 D． 5
2

在[-6, 6] 的图象大致为

A. B． C． D．
7. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比
都等于12 2 ．若第一个单音的频率为 f ，则第八个单音的频率为

B． 3 22 f
A． 3 2 f C． 12 25 f D． 12 27 f

8. 已知点 F 是抛物线C ： x2 = 2 py 的焦点，点 F 为抛物线C 的对称轴与其准线的
1 2

交点，过 F2 作抛物线C 的切线，切点为 A ，若点 A 恰好在以 F1 , F2 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为

6 - 2
2
A． B． -1
2
C． +1 D．
2
6 + 2
2

二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0
分．

9. 某健身房为了解运动健身减肥的效果，调查了20 名肥胖者健身前（如直方图（1）

所示）后（如直方图（2）所示）的体重（单位： kg ）变化情况：

直方图（1） 直方图（2） 对比数据，关于这20 名肥胖者，下面结论正确的是
A. 他们健身后，体重在区间[90,100) 内的人数较健身前增加了 2 人
B. 他们健身后，体重原在区间[100,110) 内的人员一定无变化
C. 他们健身后， 20 人的平均体重大约减少了8 kg

PF1F2
D. 他们健身后，原来体重在区间[110,120] 内的肥胖者体重都有减少

x
y
2 2
10. 已知点 P 在双曲线C : -
16 9
= 1上，F1, F2 是双曲线C 的左、右焦点，若

的面积为20 ，则下列说法正确的有
20
A. 点 P 到 x 轴的距离为
3

B. | PF1 | + | PF2

|= 50
3

PF1F2
C. 为钝角三角形 D． ÐFPF = π

1 2 3

11. 如图所示，在四棱锥 E - ABCD 中，底面ABCD是边长为2 的正方形， DCDE 是正三角形， M 为线段 DE 的中点，点 N 为底面 ABCD 内的动点，则下列结论正确的是
A. 若 BC ^ DE 时，平面CDE ^ 平面 ABCD
B. 若 BC ^ DE 时，直线 EA 与平面 ABCD 所成的

10
角的正弦值为
4

C. 若直线 BM 和 EN 异面时，点 N 不可能为底面 ABCD 的中心
D. 若平面CDE ^ 平面 ABCD ，且点 N 为底面 ABCD 的中心时， BM = EN

12. 已知ln x - x - y + 2 = 0 ，x + 2y
- 4 - 2ln 2 = 0 ，记
M = ( x - x )2 + ( y - y )2 ，

1 1 1 2 2
1 2 1 2

则
A. M 的最小值为 2 5

B. 当M 最小时， x = 12

5 2 5

4
C. M 的最小值为

D. 当M 最小时， x = 6

5 2 5
第Ⅱ卷（非选择题 90 分）
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知向量a = (-4, 3), b = (6, m) ，且a ^ b ，则m = ．

ç
14. ． 在æ
1 ön
x
+ x ÷

的展开式中， 各项系数之和为 64 ， 则展开式中的常数项为

è ø

．

15. 在DABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别是a,b, c ．若bsin A = a sin C ，c =1，则b = ，DABC 面积的最大值为 ．（第一个空 2 分，第二个空 3 分）

16. 已知函数 f (x) 的定义域为R ，导函数为 f ¢(x)，若 f (x) = cos x - f (-x) ，且
f ¢(x)+ sin x < 0 ，则满足 f (x+π)+f (x) £ 0 的 x 的取值范围为 ．

2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10 分）已知数列{a } 满足 a = 3 ，且a

= an-1 +

1 (n ³ 2, n Î N* ) ．

n 1 2 n 2 2n-1
n n
（1） 求证：数列{2n a } 是等差数列，并求出数列{a } 的通项公式；
（2） 求数列{an } 的前n 项和 Sn ．
18．（12 分）已知DABC 的内角 A, B,C 的对边分别为a,b, c ，

满足 3 sin A + cos A = 0 ．

3
3
有三个条件：① a =1；② b = ；③ S ABC = 4 ．
其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题：
（1） 求c ；
（2） 设 D 为 BC 边上一点，且 AD ^ AC ，求DABD 的面积．
19．（12 分）图 1 是由矩形 ADEB 、 RtDABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB = 1，BE = BF = 2 ，ÐFBC = 60° ，将其沿 AB, BC 折起使得 BE 与 BF 重
合，连结 DG ，如图 2．
（1） 证明：图 2 中的 A,C,G, D 四点共面，且平面 ABC ^ 平面 BCGE ；
（2） 求图 2 中的二面角 B - CG - A 的大小．

20．（12 分）已知椭圆C :9x2 + y2 = m2 ( m > 0 )，直线l 不过原点O 且不平行于坐标

轴， l 与C 有两个交点 A, B ，线段 AB 的中点为M ．
（1） 证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；
m
（2） 若l 过点( , m) ，延长线段OM 与C 交于点 P ，判断四边形OAPB 能否为平
3
行四边行？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．
21．（12 分）某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x （单位：亿元）对年销售额 y （单位：
亿元）的影响．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：
① y = a + b x2 ，② y = el x+t ．其中
a, b , l,t 均为常数，e 为自然对数的底数．
现该公司收集了近 12 年的年研发资金投入量 xi 和年销售额 yi 的数据，
i =1, 2, ,12 ，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧散点图及一些统计量的值．
令u = x 2 , v = ln y (i = 1, 2, ,12), ，经计算得如下数据：
i i i i

（1）设{ui }和{yi }的相关系数为r1 ，设{xi }和{vi } 的相关系数为r2 ，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；
（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程（系数精确到 0．01）；

n
（ii）若下一年销售额 y 需达到 90 亿元，预测下一年的研发资金投入量 x 是多少亿元?
å( xi - x )( yi - y )
n
å i
n
( x - x
)
2
å
n
( y - y
)
2
i
i=1
i=1
附：①相关系数r = i=1 ，回归直线 yˆ = a + bx 中斜率和截

å( xi - x )( yi - y )
n
距的最小二乘法估计公式为： bˆ = i=1 , aˆ = y - bˆx ．

å
i=1
( xi
- x )2

90
②参考数据： 308 = 4 ´ 77, » 9.4868, e4.4998 » 90 ．
x2

22．（12 分）设函数 f ( x) = 2ln ( x +1) +

（1） 讨论函数 f ( x) 的单调性；
．
x +1

（2） 如果对所有的 x ≥0，都有 f ( x) ≤ ax ，求实数a 的最小值；
（3） 已知数列{an }中，a1 = 1，且(1- an+1 )(1+ an ) = 1 ，若数列{an } 的前 n 项和为

n n
S ，求证： S > an+1 - lna ．

2an
n+1