四年级奥数——高斯求和.doc

第1讲 高斯求和
　　德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：
　　1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
　　老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
　　1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
　　1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为
　（1+100）×100÷2＝5050。
　　小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：
（1）1，2，3，4，5，…，100；
（2）1，3，5，7，9，…，99；
（3）8，15，22，29，36，…，71；
其中（1）是首项为 ，末项为 ，公差为 的等差数列；
（2）是首项为 ，末项为 ，公差为 的等差数列；
（3）是首项为 ，末项为 ，公差为 的等差数列；

　　由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：
和=（首项+末项）×项数÷2。
项数=（末项-首项）÷公差+1。
末项=首项+公差×（项数-1）。
对于任意一个项数为奇数的等差数列来说，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项和末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。即为中项定理
【例题讲解及思维拓展训练】
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？

【思维拓展训练一】
1、11＋12＋13＋…＋31＝？

2、3＋7＋11＋…＋99＝？

例2（2+4+6+……+2012）-（1+3+5+……+2011）

【思维拓展训练二】
1、 （7+9+11+……+25）-（5+7+9+……+23）

2、1+2-3+4+5-6+7+8-9+……+58+59-60

例3 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。

【思维拓展训练三】
1、 求首项是34，公差是5的等差数列的前50项的和。

例4 求所有加6以后被11整除的三位数的和

【思维拓展训练四】
1、100以内所有加5后是6的倍数的数的和是多少？

2、 在1——400中，所有不是9的倍数的数的和是多少？

3、 求所有被7除余数是1的三位数的和？

例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？

【思维拓展训练五】
1、 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？

例题6 建筑工地有一批砖，码成如下图的形状，最上层2块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比它上面一层多4块砖，已知最下一层2106块砖，问中间一层有多少块砖？这堆砖共有多少块？

【思维拓展训练六】
1、 求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。

2、 连续九个自然数的和为54，则以这九个自然数的末项作为首相的连续九个自然数的和是多少？

【课堂巩固训练题】　　
1.计算下列各题：
（1）2＋4＋6＋…＋200；

（2）17＋19＋21＋…＋39；

（3）5＋8＋11＋14＋…＋50；

（4）3＋10＋17＋24＋…＋101。

2. 求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。

3. 求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。

4. 时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？

5. 求100以内除以3余2的所有数的和。

6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？

7、100个连续自然数（从小到大排列）的和是8450，取出其中第1个，第3个，…，第99个数，再把剩下的50个数相加，和是多少？

8、 把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么第1个数和第6个数各是多少？

9、 把27枚棋子放入7个不同的空盒中，如果要求每个盒子都不空，且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多，问能否办到，若能，写出具体方案，若不能，说明理由。