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导数压轴满分之同构式大法

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专题7 指对跨阶系列二之同构式构造
秒杀秘籍：同构式问题构造xex与xlnx

我们发现，在，而在，在，在考查同构式的类型中，构造来求取值范围，构造来判断零点个数及分布；
同构式模型：①，
②；
③
【例1】对于任意的不等式恒成立，则a的取值范围是 ．
解：，故只需，由于在，故，，即.
【例2】（2018•长郡月考）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是
．
解：由题意得：恒成立，则需要满足，显然恒成立，故只需，即.
【例3】对，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
解：由题意得：，令，此时要构造过原点的切线放缩模型，故，即.
【例4】（2018•武邑期中）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是 ．
解：，即恒成立，.
【例5】（2019•衡水金卷）易知，不等式对任意的实数恒成立，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
解：由题意得：对恒成立，此时，即，选D.
【例6】（2019•武汉调研）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
解：由题意可知：，即构成同构式，只需，，故选B.
【例7】已知方程有3个实根，则实数的取值范围是 ．
解：构造，根据定义域可知，如图，当时，，此时，仅存在，
使，此时只存在两个实根，不合题意；当时，则一定存在或者（偏移情况），考虑到极值是左偏的，故时，，定义域要求完全覆盖，故，即.
秒杀秘籍：放对再放指，常数是关键
关于指对跨阶，由于属于递增过快，若不是存在或者之类的可以直接消除对数的，一般考虑对递增较慢的进行放缩，但在区间内重点考虑切线放缩，通常放缩有：①；②（取等条件）；③（取等条件）；④；⑤（取等条件）；⑥； ⑦（取等条件）；⑧（取等条件，⑦和⑧根据找基友证明）

【例8】（2019•榆林一模）已知不等式，对于任意的恒成立，则的最大值
．
解：要取等，看系数，，由于取等条件不一，且并未消除常数项，则此放缩法失效，考虑消除常数项，故构造取等条件是，此时取等的，故，即．
【例9】（2019•重庆巴蜀月考）已知．
（1）当时，求函数在上的最小值；
（2）若，求证：.
解：（1）时，，，当时，，当时，，故；
（2） 思路：此题若放缩，定会遇到很多问题，所以根据“放对再放指”的原理，由于，先放，由于此题无常数项，故不采用来增加常数项，由于，的出现暴露了需要“降次”，故试用，则可得，此时只需证明，此时再利用“指数找基友”即可证明不等式，或者放缩成也可以；
证明：，由于，故，故只需，令，，当时，即，故只需证，只需证令，，故在，在当时，，即证．
【例10】（2018•甘肃会宁）已知函数．
（1）求函数的单调区间；（2）证明：
解（1）参考例9；（2）思路1：第（1）问不会白给，故利用“分而治之”，此过程一定要有凹凸函数的反转，构造，利用；
思路2：“放对后放指”，要证明，只需证明，故只需证明显然失败，失败区间在，故思考取等区间在上的切线放缩式子，构造，取等条件为，即，只需证，这时需要涉及找点的知识，虽然此式已经构造成功，但这里不详叙述；构造利用切线放缩，过原点切线，，故恒成立．
达标训练
1．（2018•广东期末）已知函数的定义域是，其导函数是，且，则满足不等式的实数的集合是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019•沈阳一模）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019•全国Ⅰ卷调研）设实数，若对任意的，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2018•衡水中学）已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2019•长沙测试）若，恒有，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2018•南通期末）已知函数的定义域为，是函数的导函数，对任意的，恒成立，则关于实数的不等式的解集是 ．
7. （2018•芮城期末）已知函数．
（1）设是的极值点，求的值并求的单调区间；
（2）若不等式在恒成立，求的取值范围．

8.（2018•浙江期末）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若，求证：．

9.（2018•德阳模拟）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若曲线在点处的切线垂直于直线，求证：当时，．

10.（2018•荆州一模）已知函数，，为函数的导函数．
（1）若，求证：对任意，；
（2）若有两个极值点，求实数的取值范围．

11.（2018•新课标Ⅰ）已知函数．
（1）设是的极值点，求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．

12.（2014•全国卷I）设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求；（2）证明：.

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