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2020年全国普通高等学校招生高考数学猜想卷(理科)

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2020年全国普通高等学校招生高考数学猜想卷（理科）
一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）集合，，则　　
A． B．
C．，， D．，，
2．（5分）复数上的虚部为　　
A． B． C． D．
3．（5分）已知，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
4．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中，割圆术有，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”其体现的是一种无限与有限的转化过程，如在中，“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，这可以通过方程确定的值，类似地的值为　　
A．3 B． C．6 D．
5．（5分）“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是　　

A． B． C．10 D．
6．（5分）函数的图象不可能是　　
A． B．
C． D．
7．（5分）已知边长为2的正方形中，为中点，连，则　　
A． B． C．1 D．2
8．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的值为　　

A． B． C． D．2
9．（5分）公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，，则　　
A．36 B．42 C．48 D．60
10．（5分）已知点是椭圆的右焦点，过作垂直于长轴的垂线交椭圆于、两点，若以为直径的圆过坐标原点，则该椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
11．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，为△的内心，且，若椭圆的离心率为，则　　
A． B． C． D．
12．（5分）设函数的定义域为，满足，且当，时，．若对任意，，都有，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．（5分）已知命题，使得，则为　　．
14．（5分）函数在点处的切线方程是　　．
15．（5分）记等差数列的前项和为，若，，则的前项和　　．
16．（5分）已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，，，，则球的表面积为　　．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题，每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分
17．在中，角，，所对的边分别为，，，且，是边上的点．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，，，求的长．
18．如图，在三棱锥中，已知，顶点在平面上的射影为的外接圆圆心．
（1）证明：平面平面；
（2）若点在棱上，，且二面角的余弦值为，试求的值．

19．已知，直线，若动点到点的距离比它到直线的距离小1，
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）直线过点且与曲线相交于不同的两点，，若，求直线的直线方程．
20．对同学们而言，冬日的早晨离开暖融融的被窝，总是一个巨大的挑战，而咬牙起床的唯一动力，就是上学能够不迟到．己知学校要求每天早晨之前到校，之后到校记为迟到．小明每天会被妈妈叫醒起味，吃早餐、洗漱等晨间活动需要半个小时，故每天小明就可以出门去上学．从家到学校的路上，若小明选择步行到校，则路上所花费的时间相对准确，若以随机变量（分钟）表示步行到校的时间，可以认为．若小明选择骑共享单车上学，虽然骑行速度快于步行，不过由于车况、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性增加，若以随机变量（分钟）描述骑车到校的时间，可以认为．若小明选择坐公交车上学，速度很快，但是由于等车时间、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性进一步增加，若以随机变量（分钟）描述坐公交车到校所需的时间，则可以认为．
（1）若某天小明妈妈出差没在家，小明一觉醒来已经是了，他抓紧时间洗漱更衣，没吃早饭就出发了，出门时候是．请问，小明是否有某种出行方案，能够保证上学不迟到？小明此时的最优选择是什么？
（2）已知共享单车每20分钟收费一元，若小明本周五天都骑共享单车上学，以随机变量表示这五天小明上学骑车的费用，求的期望与方差（此小题结果均保留三位有效数字）
已知若随机变量，则，，．
21．已知函数．
（1）求的单调区间与极值；
（2）若不等式对任意，恒成立，求正实数的取值范围．
（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线以及直线的极坐标方程；
（Ⅱ）若，直线与曲线相交于不同的两点，，求的值．
23．已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．

2020年全国普通高等学校招生高考数学猜想卷（理科）
参考答案与试题解析
一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）集合，，则　　
A． B．
C．，， D．，，
【解答】解：依题意，，
故或，
故选：．
2．（5分）复数上的虚部为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
复数上的虚部为．
故选：．
3．（5分）已知，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
【解答】解：．
．
故选：．
4．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中，割圆术有，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”其体现的是一种无限与有限的转化过程，如在中，“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，这可以通过方程确定的值，类似地的值为　　
A．3 B． C．6 D．
【解答】解：由已知代数式的求值方法：
先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），
可得要求的式子．
令，
则两边平方得，则，
即，解得，，舍去．
故选：．
5．（5分）“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是　　

A． B． C．10 D．
【解答】解：根据题意，设阴影部分的面积为，则正方形的面积为9，
向正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分内，
则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率；
而，则，
解可得，；
故选：．
6．（5分）函数的图象不可能是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：，．
（1）当时，，图象为；
（2）当时，，在上单调递增，
令得，当时，，当时，，
在上单调递减，在，上单调递增，图象为；
（3）当时，，在上单调递减，
令得，当时，，当时，，
在上单调递减，在，上单调递增，图象为；
故选：．
7．（5分）已知边长为2的正方形中，为中点，连，则　　
A． B． C．1 D．2
【解答】解：如图，

；

．
故选：．
8．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的值为　　

A． B． C． D．2
【解答】解：当时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，，；
当时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，，；
当时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，，；
当时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，，；
当时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，，；
的值是以4为周期的循环，
由，
故当时，满足退出循环的条件，故输出的值为2，
故选：．
9．（5分）公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，，则　　
A．36 B．42 C．48 D．60
【解答】解：公差不为零的等差数列的前项和为，是与的等比中项，，
，
解得，，
．
故选：．
10．（5分）已知点是椭圆的右焦点，过作垂直于长轴的垂线交椭圆于、两点，若以为直径的圆过坐标原点，则该椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：点是椭圆的右焦点，
过作垂直于长轴的垂线交椭圆于、两点，
若以为直径的圆过坐标原点，可得：，即，
可得，，
解得．
故选：．
11．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，为△的内心，且，若椭圆的离心率为，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：设△的内切圆半径为，
则，，，
，
，
可得．
，
解得：．
故选：．

12．（5分）设函数的定义域为，满足，且当，时，．若对任意，，都有，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：当，时，函数在上递减，在，上递增，所以（1）．
因为，当图象向右平移2个单位时，最小值变为原来的2倍，最小值不断变小，
当图象向左平移2个单位时，最小值变为原来的，最小值不断变大．
当，时，（3）；
当，时，（5）；
所以要对任意，，都有，
时，函数递减，，时，函数递增，
所以当最大时，，且，解得，
故的取值范围是，．
故选：．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．（5分）已知命题，使得，则为　，　．
【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，
即为，，
故答案为：，
14．（5分）函数在点处的切线方程是　　．
【解答】解：，
，
曲线在点处的切线的斜率为：，
曲线在点处的切线的方程为：
即，
故答案为：．
15．（5分）记等差数列的前项和为，若，，则的前项和　　．
【解答】解：因为是等数差数列，，而，
所以，解得，，
则，；
数列构成首项为9，公差为9的等差数列；
若为偶数，则，
若为奇数，
则，
故；
故答案为：．
16．（5分）已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，，，，则球的表面积为　　．
【解答】解：如图：

由，可得，则．
在中，，，，
．
则为等腰三角形，设的外心为，连接交于，
由正弦定理求得，求解三角形可得，则．
取中点，则为三角形的外心，过作平面的垂线，
过作平面的垂线，两垂线相交于，
则为三棱锥的外接球的球心，其半径．
球的表面积为．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题，每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分
17．在中，角，，所对的边分别为，，，且，是边上的点．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，，，求的长．
【解答】解：（Ⅰ），，
由正弦定理得：，
即：，
，
即：，
，，；
（Ⅱ）在中，若，，，
由余弦定理，得，
所以，
在中，，，，
由正弦定理得，，
所以．
18．如图，在三棱锥中，已知，顶点在平面上的射影为的外接圆圆心．
（1）证明：平面平面；
（2）若点在棱上，，且二面角的余弦值为，试求的值．

【解答】解：（1）证明：如图，设的中点为，连接，
由题意，得，则为直角三角形，
点为的外接圆圆心．
又点在平面上的射影为的外接圆圆心，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）解：由（1）可知平面，
所以，，，
以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，1，，，0，，，0，，
设，，，，0，，，0，，
，，，，0，，，0，，
设平面的法向量为，，，
则，令，得，1，，
设平面的法向量为，，，
由，令，得，1，，
二面角的余弦值为，
，
解得，即为的中点．

19．已知，直线，若动点到点的距离比它到直线的距离小1，
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）直线过点且与曲线相交于不同的两点，，若，求直线的直线方程．
【解答】解：（Ⅰ）解法一：（1）设，则由题设得，
即
当时，，化简得；
当时，，
化简得与不合
故点的轨迹的方程是；
解法二：点到点的距离比它到直线的距离小1．
点在直线的上方．
点到的距离与它到直线的距离相等．
点的轨迹是以为焦点为准线的抛物线，所以曲线的方程为；
（Ⅱ）设，，，，，
由，得，
，，
，
，
所求的直线方程：．
20．对同学们而言，冬日的早晨离开暖融融的被窝，总是一个巨大的挑战，而咬牙起床的唯一动力，就是上学能够不迟到．己知学校要求每天早晨之前到校，之后到校记为迟到．小明每天会被妈妈叫醒起味，吃早餐、洗漱等晨间活动需要半个小时，故每天小明就可以出门去上学．从家到学校的路上，若小明选择步行到校，则路上所花费的时间相对准确，若以随机变量（分钟）表示步行到校的时间，可以认为．若小明选择骑共享单车上学，虽然骑行速度快于步行，不过由于车况、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性增加，若以随机变量（分钟）描述骑车到校的时间，可以认为．若小明选择坐公交车上学，速度很快，但是由于等车时间、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性进一步增加，若以随机变量（分钟）描述坐公交车到校所需的时间，则可以认为．
（1）若某天小明妈妈出差没在家，小明一觉醒来已经是了，他抓紧时间洗漱更衣，没吃早饭就出发了，出门时候是．请问，小明是否有某种出行方案，能够保证上学不迟到？小明此时的最优选择是什么？
（2）已知共享单车每20分钟收费一元，若小明本周五天都骑共享单车上学，以随机变量表示这五天小明上学骑车的费用，求的期望与方差（此小题结果均保留三位有效数字）
已知若随机变量，则，，．
【解答】解：（1）依题意，小明需要在25分钟内到达学校．
若他选择步行到校，则不迟到的概率记为，取，，
则，，
．
若骑车到校，则不迟到的概率记为，取，，
则，，，
则，
，
，，，
若坐公交车到校，则不迟到的概率记为，取，，
则，，．
综上，三种方案都无法满足原则，不能保证上学不迟到．
相对而言，骑车到校不迟到的概率最高，是最优选择．
（2）取随机变量表示五天里骑车上学时间单程超过20分钟的天数．
依题意，每天骑车上学时间超过20分钟的概率为，
，，
．
又，
（元，（元．
21．已知函数．
（1）求的单调区间与极值；
（2）若不等式对任意，恒成立，求正实数的取值范围．
【解答】解：（1），
，定义域为，
又由，解得：，，解得：．
的单减区间为，的单增区间为，，
，无极大值．
（2），故，
将化简可得：，
，
，，
由（1）知在，上单增，
故，
，即．
令，
则，
令，
则，
在，上单减，而（1），（3），
，使得且在上，，，单增，
在，上，，，单减．
（1）或（3），
而（1）（3），
．
（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线以及直线的极坐标方程；
（Ⅱ）若，直线与曲线相交于不同的两点，，求的值．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，曲线，故，
即，即；
直线，即，即，
故；
（Ⅱ）将直线的参数方程为参数）代入中，
化简可得，
设，所对应的参数分别为，，
则，，
故．
23．已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，
解得；
当时，，
解得，则；
当时，，
解得，则；
综上知，不等式的解集为，，；
（2）由，
若对任意，不等式恒成立，
则，
解得或；
则的取值范围是，，．

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