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历年全国初中数学联赛精彩试题总汇

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1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题

第一试
一、选择题
本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．
１． 设等式在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则的值是
（A）3 ； （B）； （C）2； （D）．
答（ ）
２． 如图，AB‖EF‖CD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是
（A） 10； （B）12；
（C） 16； （D）18．
答（ ）
３． 方程的解是
（A）； （B）；
（C）或； （D）．
答（ ）
４． 已知：（n是自然数）．那么，的值是
（Ａ）；　　　　　　　（Ｂ）；
（Ｃ）；　　　　　（Ｄ）．
答（　　　）
５． 若，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ
（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；
（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；
（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；
（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．
答（　　　）
６． 若a，c，d是整数，b是正整数，且满足，，，那么
的最大值是
（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）；（Ｄ）１．
答（　　　）

=1

７． 如图，正方形OPQR内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是，和，那么，正方形OPQR的边长是
（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．
答（ ）

８． 在锐角ΔABC中，，，，ΔABC的外接圆半径≤1，则
（Ａ）< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤；
答（ ）
（C）c > 2； 　　　　　（D）c = 2．
答（　　）
二、填空题
１．Ｅ是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果ΔBEG的面积是１，则平行四边形ABCD的面积是 ．
２．已知关于x的一元二次方程没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么， ．

3．设m，n，p，q为非负数，且对一切x >０，恒成立，则
　　　　　　　．
４．四边形ABCD中，∠ ABC，∠BCD，AB，BC，
CD = 6，则AD = ．

第二试
x + y，　x － y，　x y，　
四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y）．
二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且
BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．
求证：BF＝AF＋CF

三、将正方形ABCD分割为 个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．

1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第一试
一.选择题
本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.
1.满足的非负整数的个数是
(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.
2.若是一元二次方程的根,则判别式与平方式的关系是
(A)> (B)= (C)>; (D)不确定.
3.若,则的个位数字是
(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.
答( )
4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于,则这个多边形的边数必为
(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.
答( )
5.如图,正比例函数的图像与反比例函数的图像分别相交于A点和C点.若和的面积分别为S1和S2,则S1与S2的关系是
(A) (B)
(C) (D)不确定 答( )
6.在一个由个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,则的整数部分是
(A)0; (B)1; (C)2; (D)3.
答( )

7.如图,在等腰梯形ABCD中, AB//CD, AB=2CD, ,又E是底边AB上一点,且FE=FB=AC, FA=AB.
则AE:EB等于
(A)1:2 (B)1:3
(C)2:5 (D)3:10
答( )
8.设均为正整数,且
,,则当的值最大时,的最小值是
(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.
答( )
二.填空题
1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等15cm,则这个等腰三角形的面积等于________________.
2.若,则的最大值是__________.
3.在中,的平分线相交于点，又于点，若，则 .
4.若都是正实数，且，则 .
第二试
一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程的两根，当这样的三角形只有一个时，求的取值范围.
二、如图，在中，是底边上一点，是线段上一点，且.
求证：.

三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：
A：320651 B：105263
C：612305 D：316250
已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同.D恰有三个数字的位置与M和N相同.试求：M和N.
1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题
第一试
一.选择题
本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.
1.多项式除以的余式是
(A)1; (B)-1; (C); (D);
2.对于命题
Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.
Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是
(A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错.
3.设是实数,.下列四个结论:
Ⅰ.没有最小值;
Ⅱ.只有一个使取到最小值;
Ⅲ.有有限多个(不止一个)使取到最大值;
Ⅳ.有无穷多个使取到最小值.
其中正确的是
(A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ
4.实数满足方程组

其中是实常数,且,则的大小顺序是
(A); (B);
(C); (D).
5.不等式的整数解的个解
(A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于5
6.在中,,
则的值是
(A) (B)
(C) (D).
答( )
7.锐角三角ABC的三边是a, b, c,它的外心到三边的距离分别为m, n, p,那么m:n:p等于
(A); (B)
(C) (D).
答( )
8.可以化简成
(A); (B) (C) (D)
答( )
二.填空题
1. 当x变化时,分式的最小值是___________.
2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.
3.若方程有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则=____________.
4.锐角三角形ABC中,.以BC边为直径作圆,与AB, AC分别交于D, E,连接DE, 把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC,设它们的面积分别为S1, S2,则S1:S2=___________.
第二试
一.设H是等腰三角形ABC垂心,在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小,这时乘积的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.
二.中, BC=5, AC=12, AB=13, 在边AB ,AC上分别取点D, E, 使线段DE将分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE的最小长度.
三.已知方程分别各有两个整数根及,且.
(1)求证:
(2)求证:≤≤;
(3)求所有可能的值.

1994年全国初中数学联赛试题
第一试
(4月3日上午8：30—9：30)
考生注意：本试共两道大题，满分80分.
一、选择题（本题满分48分，每小题6分）
本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.

〔答〕( )
2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,z
A．都不小于0 B．都不大于0
C．至少有一个小0于 D．至少有一个大于0 〔答〕( )
3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长
A．等于4 B．等于5
C．等于6 D．不能确定
〔答〕( )

A．1 B．-1 C．22001 D．-22001 〔答〕( )
5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角
A．4对 B．8对
C．12对 D．16对
〔答〕( )

〔答〕( )

7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。若BC=a,AC=b,AB=c,则AH·AD+BH·BE+CH·CF的值是
〔答〕( )

A．1001 B．1001,3989
C．1001,1996 D．1001,1996,3989 〔答〕( )
二、填空题（本题满分32分，每小题8分）
各小题只要求在所给横线上直接填写结果.

3．在△ABC中，设AD是高，BE是角平分线，若BC=6，CA=7，AB=8，则DE=______.
4．把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于______.

第二试

(4月3日上午10：00—11：30)
考生注意：本试共三道大题，满分60分.
一、（本题满分20分）

如图所示，在△ABC中，AB=AC.任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ.求证：△ABC的外心O与A,P,Q四点共圆。

思路一：△OCP≌△OAQ→→∠CPO=∠AQO→→OAPQ四点共圆（视角定理.）
思路二： △PAO≌△QBO→→∠OPA=∠AQO→→OAPQ四点共圆（视角定理.）

连接OB、OA。
∠OBA=∠OAB=∠OAC
∴∠PAO=∠QBO
PA=QB AO=BO
∴△PAO≌△QBO
∠OPA=∠AQO
所以O与A，P,Q,四点同园

二、（本题满分20分）
周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？
三、（本题满分20分）
某次数学竞赛共有15个题.下表是对于做对n(n=0,1,2,……,15)个题的人数的一个统计.
n 0 1 2 3 …… 12 13 14 15
做对n个题的人数 7 8 10 21 …… 15 6 3 1

如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题.问这个表至少统计了多少人？
1994年全国初中数学联赛参考答案

第一试答案
一、选择题；
小题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B B D C B C
二、填空题：

第二试提示及答案.
一、连结OA，OC，OP，OQ.证明△OCP≌△OAQ，于是
∠CPO=∠AQO，所以O，A，P，Q四点共圆.

三、这个表至少统计了200人.

1995年全国初中数学联赛试题
第一试
一、选择题
1．已知a＝355,b＝444,c＝533,则有［ ]
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b

A．1 B．2 C．3 D．4
3．如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是

4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为 ［ ]
A．62π B．63π C．64π D．65π
5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则 [ ]
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定
6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，则[ ]
A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0
C．a＞0且b＜0 D．a＜0且b＜0
二、填空题
1．在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。

4．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2＝AC·BC，则∠CAB＝______．

第二试

一、 已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）求证F为△CDE的内心。

二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数
理由。

三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。

２００１年全国初中数学联合竞赛试题及答案

２００２年全国初中数学联合竞赛试题及答案

２００３年全国初中数学联合竞赛试题及答案

２００５年全国初中数学联合竞赛试题及答案

２００５年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案

２００６年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案

答案：

２００７年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案

答案：

２００８年全国初中数学联合竞赛一试试题及答案

答案：

２００８年全国初中数学联合竞赛二试试题及答案

答案：

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1. 设，则 （ A
A.24. B. 25. C. . D. .

2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝ （ C ）
A.. B. . C. . D. .

3．用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为 （ C ）
A.1. B. 2. C. 3. D. 4.

4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ B
A.. B. . C. . D. .

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则CBE＝ （ D ）
A.. B. . C. . D. .

6．设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是 （ B ）
A.3. B. 4. C. 5. D. 6.

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1．已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是____________.

2． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为______.

3．如果实数满足条件，，则______.
4．已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有___7__对.
第二试
一．（本题满分20分）已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B，与轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.
（1）证明：⊙P与轴的另一个交点为定点.
（2）如果AB恰好为⊙P的直径且，求和的值.
解 （1）易求得点的坐标为，设，，则，.
设⊙P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则.
因为，所以点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1).
（2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为，
即.
又，所以
，
解得.

二． （本题满分25分） 已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB.

解 因为BN是∠ABC的平分线，所以.
又因为CH⊥AB，所以，
因此.
又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以，因此C、F、H、B四点共圆.
又，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上.
同理可证，点E在CH的中垂线上.
因此EF⊥CH.
又AB⊥CH，所以EF∥AB.

三．（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：
①
②
是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.
解法1 将①②两式相乘，得，
即，
即，
即，
即，
即，
即，即，
即，
所以或或，即或或.
因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.
解法2 结合①式，由②式可得，
变形，得 ③
又由①式得，即，
代入③式，得，
即.

，
所以或或.
结合①式可得或或.
因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.

2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1. 若均为整数且满足，则 （ B ）
A．1. B．2. C．3. D．4.
2．若实数满足等式，，则可能取的最大值为 （ C ）
A．0. B．1. C．2. D．3.
3．若是两个正数，且 则 （ C ）
A．. B．. C．. D．.
4．若方程的两根也是方程的根，则的值为 （ A ）
A．－13. B．－9. C．6. D． 0.
5．在△中，已知，D，E分别是边AB，AC上的点，且，，,则 ( B )
A．15°. B．20°. C．25°. D．30°.
6．对于自然数，将其各位数字之和记为，如，， （ D ）
A．28062. B．28065. C．28067. D．28068.
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1．已知实数满足方程组则 13 .
2．二次函数的图象与轴正方向交于A，B两点，与轴正方向交于点C．已知，，则 ．
3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝，PC＝5，则PB＝______．
4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球.
第二试 （A）
一．（本题满分20分）设整数（）为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.
解 由已知等式可得
①
令，则，其中均为自然数.
于是，等式①变为，即
②
由于均为自然数，判断易知，使得等式②成立的只有两组：和
（1）当时，，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.
（2）当时，，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.
二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MD//AC，交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线.
证明 过点P作⊙I的切线PQ（切点为Q）并延长，交BC于点N.
因为CP为∠ACB的平分线，所以∠ACP＝∠BCP.
又因为PA、PQ均为⊙I的切线，所以∠APC＝∠NPC.
又CP公共，所以△ACP≌△NCP，所以∠PAC＝∠PNC.
由NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ＝∠ACB，所以MQ//AC.
又因为MD//AC，所以MD和MQ为同一条直线.
又点Q、D均在⊙I上，所以点Q和点D重合，故PD是⊙I的切线.
三．（本题满分25分）已知二次函数的图象经过两点P，Q.
（1）如果都是整数，且，求的值.
（2）设二次函数的图象与轴的交点为A、B，与轴的交点为C.如果关于的方程的两个根都是整数，求△ABC的面积.
解 点P、Q在二次函数的图象上，故，，
解得，.
（1）由知解得.
又为整数，所以，，.
(2) 设是方程的两个整数根，且.
由根与系数的关系可得，，消去，得，
两边同时乘以9，得，分解因式，得.
所以或或或
解得或或或
又是整数，所以后面三组解舍去，故.
因此，，，二次函数的解析式为.
易求得点A、B的坐标为（1,0）和（2,0），点C的坐标为（0,2），所以△ABC的面积为.
第二试 （B）
一．（本题满分20分）设整数为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.
解 不妨设，由已知等式可得
①
令，则，其中均为自然数.
于是，等式①变为，即
②
由于均为自然数，判断易知，使得等式②成立的只有两组：和
（1）当时，，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.
（2）当时，，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.

二．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.
三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.

第二试 （C）
一．（本题满分20分）题目和解答与（B）卷第一题相同.
二．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.
三．（本题满分25分）设是大于2的质数，k为正整数．若函数的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k的值．
解 由题意知，方程的两根中至少有一个为整数．
由根与系数的关系可得，从而有
①
（1）若，则方程为，它有两个整数根和．
（2）若，则.
因为为整数，如果中至少有一个为整数，则都是整数.
又因为为质数，由①式知或．
不妨设，则可设（其中m为非零整数），则由①式可得，
故，即．
又，所以，即
②
如果m为正整数，则，，从而，与②式矛盾.
如果m为负整数，则，，从而，与②式矛盾.
因此，时，方程不可能有整数根．
综上所述，．

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