高考数学高考题和高考模拟题分项版汇编专题08数列理(含解析)教学文案.docx

2019年高考数学高考题和高考模拟题分项版汇编专题08数列理(含解析)

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专题08 数列
1．【2019年高考全国I卷理数】记为等差数列的前n项和．已知，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题知，，解得，∴，,故选A．
【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断．
2．【2019年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则
A．16 B．8
C．4 D．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.
3．【2019年高考浙江卷】设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an2+b，，则
A．当 B．当
C．当 D．当
【答案】A
【解析】①当b=0时，取a=0，则.
②当时，令，即.
则该方程，即必存在，使得，
则一定存在，使得对任意成立，
解方程，得，
当时，即时，总存在，使得，
故C、D两项均不正确.
③当时，，
则，
.
（ⅰ）当时，，
则，
，
，
则，
，
故A项正确.
（ⅱ）当时，令，则，
所以，以此类推，
所以，
故B项不正确.
故本题正确答案为A.
【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论的可能取值，利用“排除法”求解.
4．【2019年高考全国I卷理数】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，
所以所以．
【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．
5．【2019年高考全国III卷理数】记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.
【答案】4
【解析】设等差数列{an}的公差为d,
因，所以，即，
所以．
【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．
6．【2019年高考北京卷理数】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．
【答案】 0，.
【解析】等差数列中,,得又,所以公差,,
由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为.
【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基本运算能力的考查.
7．【2019年高考江苏卷】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_____.
【答案】16
【解析】由题意可得：，
解得：，则.
【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建的方程组.
8．【2019年高考全国II卷理数】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.
（I）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（II）求{an}和{bn}的通项公式.
【答案】（I）见解析；（2），.
【解析】（1）由题设得，即．
又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列．
由题设得，即．
又因为a1–b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知，，．
所以，
．
9．【2019年高考北京卷理数】已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项、…、第im项（i1<i2<…<im），若，则称新数列为{an}的长度为m的递增子列．规定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的递增子列．
（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列{an}的长度为p的递增子列的末项的最小值为，长度为q的递增子列的末项的最小值为．若p<q，求证：<；
（Ⅲ）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s–1，且长度为s末项为2s–1的递增子列恰有2s-1个（s=1，2，…），求数列{an}的通项公式．
【答案】(Ⅰ) 1,3,5,6（答案不唯一）；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ)见解析.
【解析】（Ⅰ）1，3，5，6.（答案不唯一）
（Ⅱ）设长度为q末项为的一个递增子列为.
由p<q，得.
因为的长度为p的递增子列末项的最小值为，
又是的长度为p的递增子列，
所以.
所以·
（Ⅲ）由题设知，所有正奇数都是中的项.
先证明：若2m是中的项，则2m必排在2m−1之前（m为正整数）.
假设2m排在2m−1之后.
设是数列的长度为m末项为2m−1的递增子列，则是数列的长度为m+1末项为2m的递增子列.与已知矛盾.
再证明：所有正偶数都是中的项.
假设存在正偶数不是中的项，设不在中的最小的正偶数为2m.
因为2k排在2k−1之前（k=1，2，…，m−1），所以2k和不可能在的同一个递增子列中.
又中不超过2m+1的数为1，2，…，2m−2，2m−1，2m+1，所以的长度为m+1且末项为2m+1的递增子列个数至多为.
与已知矛盾.
最后证明：2m排在2m−3之后（m≥2为整数）.
假设存在2m（m≥2），使得2m排在2m−3之前，则的长度为m+1且末项为2m+l的递增子列的个数小于.与已知矛盾.
综上，数列只可能为2，1，4，3，…，2m−3，2m，2m−1，….
经验证，数列2，1，4，3，…，2m−3，2m，2m−1，…符合条件.
所以
【名师点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
10．【2019年高考天津卷理数】设是等差数列，是等比数列．已知．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中．
（i）求数列的通项公式；
（ii）求．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii）
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．依题意得解得故．
所以，的通项公式为的通项公式为．
（Ⅱ）（i）．
所以，数列的通项公式为．
（ii）

．
【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知识．考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力．
11．【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”；
（2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）①bn=n；②5.
【解析】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.
由，得，解得．
因此数列为“M—数列”.
（2）①因为，所以．
由，得，则.
由，得，
当时，由，得，
整理得．
所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.
因此，数列{bn}的通项公式为bn=n.
②由①知，bk=k，.
因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.
因为ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m.
当k=1时，有q≥1；
当k=2，3，…，m时，有．
设f（x）=，则．
令，得x=e.列表如下：
x

e
(e，+∞)

+
0
–
f（x）

极大值

因为，所以．
取，当k=1，2，3，4，5时，，即，
经检验知也成立．
因此所求m的最大值不小于5．
若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，
所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.
综上，所求m的最大值为5．
【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．
12．【2019年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为，，，数列满足：对每个成等比数列．
（I）求数列的通项公式；
（II）记证明：
【答案】（I），；（II）证明见解析.
【解析】（I）设数列的公差为d，由题意得
，
解得．
从而．
所以，
由成等比数列得
．
解得．
所以．
（II）．
我们用数学归纳法证明．
（i）当n=1时，c1=0<2，不等式成立；
（ii）假设时不等式成立，即．
那么，当时，
．
即当时不等式也成立．
根据（i）和（ii），不等式对任意成立．
【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.
13．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学试题】在等差数列中，，是方程的两根，则数列的前11项和等于
A．66 B．132
C．66 D． 32
【答案】D
【解析】因为，是方程的两根，
所以，
又，所以，
，故选D.
【名师点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差中项，数列的求和公式，属于中档题.
14．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学试题】定义在[0,+∞)上的函数fx满足：当0≤x<2时，fx=2x-x2；当x≥2时，fx=3fx-2.记函数fx的极大值点从小到大依次记为a1,a2,⋯,an,⋯,并记相应的极大值为b1,b2,⋯,bn,⋯,则a1b1+a2b2+⋯+a20b20的值为
A．19×320+1 B．19×319+1
C．20×319+1 D．20×320+1
【答案】A
【解析】由题意当0≤x<2时，,极大值点为1，极大值为1，
当x≥2时，.则极大值点形成首项为1公差为2 的等差数列，极大值形成首项为1公比为3 的等比数列，
故an=2n-1.,bn=3n-1,故anbn=2n-13n-1，
设S=a1b1+a2b2+⋯+a20b20=1∙1+3∙31+5∙32+⋯+39∙319，
3S=1∙31+3∙32+⋯+39∙320，
两式相减得-2S=1+2(31+32+⋯+319)-320=1+2×31-3191-3-39∙320=-2-38∙320
∴S=19×320+1，
故选：A.
【名师点睛】本题考查数列与函数综合,错位相减求和,确定an及bn的通项公式是关键,考查计算能力,是中档题.
15．【福建省2019届高三毕业班质量检查测试数学试题】数列an中，a1=2，且，则数列{1(an-1)2}前2019项和为
A．40362019 B．20191010 C．40372019 D．40392020
【答案】B
【解析】：∵an+an-1=nan-an-1+2（n≥2），
∴，
整理得：an-12-an-1-12=n，
∴an-12-a1-12=n+n-1+⋯⋯+2，又a1=2，
∴an-12=nn+12，
可得：1an-12=2nn+1=21n-1n+1．
则数列1an-12前2019项和为：21-12+12-13+⋯[phone]=21-12020=20191010．
故选：B．
【名师点睛】本题主要考查了数列递推关系、“累加求和”方法、裂项求和，考查了推理能力、转化能力与计算能力，属于中档题．
16．【内蒙古2019届高三高考一模试卷数学试题】《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得,,,个单位,递减的比例为,今共有粮石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得石,乙、丁衰分所得的和为石,则“衰分比”与的值分别为
A．　 B．　
C．　 D．　
【答案】A
【解析】设“衰分比”为,甲衰分得石,
由题意得,
解得,,．
故选A．
【名师点睛】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用．
17．【山东省德州市2019届高三第二次练习数学试题】设数列的前n项和为，已知，且，记，则数列的前10项和为______．
【答案】200
【解析】∵，且，
∴，
∵，
∴时，，
两式相减可得，，（）
即时，即，
∵，
∴数列的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2，
∴，，
∴，
则数列，则的前10项和为

.
故答案为200.
【名师点睛】本题考查数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，考查等比数列的通项公式及数列的求和方法的应用，属于中档题.
18．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学试题】在数列中，，则的值为______．
【答案】1
【解析】因为
所以，

,
,
各式相加，可得
，
，
所以，，故答案为1.
【名师点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列；（3）将递推关系变形，利用累加法、累乘法以及构造新数列法求解.
19．【2019北京市通州区三模数学试题】设是等比数列，且，，则的通项公式为_______．
【答案】，.
【解析】设等比数列的公比为，
因为，，
所以，解得，所以，
因此，，.
故答案为，.
【名师点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，熟记等比数列的通项公式即可，属于常考题型.
20．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为．若，，．
（I）求数列与的通项公式；
（II）求数列的前项和．
【答案】（I）；（II）.
【解析】（I）由，，
则，
设等差数列的公差为，则，所以.
所以.
设等比数列的公比为，由题，即，所以.
所以；
（II），
所以的前项和为
.
【名师点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，熟记通项公式、前项和公式即可，属于常考题型.
21．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试数学试题】已知等差数列的公差是1，且，，成等比数列．
（I）求数列的通项公式；
（II）求数列的前项和．
【答案】（I）；（II）.
【解析】（I）因为是公差为1的等差数列，且，，成等比数列，
所以，即，解得.
所以.
（II），
，
两式相减得，
所以.
所以.
【名师点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于常考题型．
22．【安徽省1号卷A10联盟2019年高考最后一卷数学试题】已知等差数列满足，且是的等比中项.
（I）求数列的通项公式；
（II）设，数列的前项和为，求使成立的最大正整数的值
【答案】（I）.（II）8.
【解析】（I）设等差数列的公差为，，即，
，，，
是，的等比中项，
，即，解得.
数列的通项公式为.
（II）由（I）得.

，
由，得.
使得成立的最大正整数的值为.
【名师点睛】本题考查等差数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.
23．【重庆一中2019届高三下学期5月月考数学试题】已知数列满足：，，数列中，，且，，成等比数列.
（I）求证：数列是等差数列；
（II）若是数列的前项和，求数列的前项和.
【答案】（I）见解析；（II）.
【解析】（I），
∴数列是公差为1的等差数列；
（II）由题意可得，即，所以，所以，
∴，∴，
.
【名师点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查等差数列的前n项和的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

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