导数第一节讲解练习电子教案.doc

导数第一节讲解练习

精品文档

§3.1　导数的概念及其运算

1.函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为____________，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为________.
2.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率______________＝______________为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝______________.
(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点__________处的____________.相应地，切线方程为__________________.
3.函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝__________________为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.
4.基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c (c为常数)
f′(x)＝________
f(x)＝xn (n∈Q*)
f′(x)＝________
f(x)＝sin x
f′(x)＝________
f(x)＝cos x
f′(x)＝________
f(x)＝ax
f′(x)＝__________
f(x)＝ex
f′(x)＝________
f(x)＝logax
f′(x)＝____________
f(x)＝ln x
f′(x)＝________
5.导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝______________；
(2)[f(x)·g(x)]′＝____________________；
(3)′＝______________________ (g(x)≠0).
6.复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝__________，即y对x的导数等于________的导数与________的导数的乘积.
[难点正本　疑点清源]
1.深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系
(1)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)是一个常数；
(2)函数y＝f(x)的导函数，是针对某一区间内任意点x而言的.如果函数y＝f(x)在区间(a，b)内每一点x都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数f′(x0).这样就在开区间(a，b)内构成了一个新函数，就是函数f(x)的导函数f′(x).在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数.
2.曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系
(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线.
(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点.点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条.

1. f′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为________.
2.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，
则f(5)＋f′(5)＝______.
3.已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________.
4.已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于
3x－y＝0，则点P的坐标为________.
5.已知曲线y＝x2－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为 (　　)
　A.－3 B.2 C.－3或2 D.

题型一　利用导数的定义求函数的导数
例1　求函数y＝在x0到x0＋Δx之间的平均变化率.
探究提高　求函数f(x)平均变化率的步骤：
①求函数值的增量Δf＝f(x2)－f(x1)；
②计算平均变化率＝.
解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了.
利用导数的定义求函数的导数：
(1)f(x)＝在x＝1处的导数；
(2)f(x)＝.
题型二　导数的运算
例2　求下列函数的导数：
(1)y＝ex·ln x；(2)y＝x；
(3)y＝x－sin cos ；(4)y＝(＋1).
探究提高　(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量.
求下列各函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(3)y＝－sin ；(4)y＝＋；
(5)y＝.
例3　求下列复合函数的导数：
(1)y＝(2x－3)5；(2)y＝；
(3)y＝sin2；(4)y＝ln(2x＋5).
探究提高　由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类 问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一 层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程.
求下列复合函数的导数：
(1)y＝(1＋sin x)2；(2)y＝ln；
(3)y＝xe1－cos x；(4)y＝；(5)y＝x.
题型三　导数的几何意义
例4　已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；
(3)求斜率为1的曲线的切线方程.
探究提高　利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：
(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率.即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点的坐标.
(2)切点既在曲线上，又在切线上.切线有可能和曲线还有其它的公共点.
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值.

　　　　　　　　　　　1.一审条件挖隐含

试题：(12分)设函数y＝x2－2x＋2的图象为C1，函数y＝－x2＋ax＋b的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直.
(1)求a，b之间的关系；
(2)求ab的最大值.
审题路线图
C1与C2有交点
↓(可设C1与C2的交点为(x0，y0))
过交点的两切线互相垂直
↓(切线垂直隐含着斜率间的关系)
两切线的斜率互为负倒数
↓(导数的几何意义)
利用导数求两切线的斜率：
k1＝2x0－2，k2＝－2x0＋a
↓(等价转换)
(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1 ①
↓(交点(x0，y0)适合解析式)
，即2x－(a＋2)x0＋2－b＝0　　　 ②
↓(注意隐含条件方程①②同解)
a＋b＝
↓(消元)
ab＝a＝－2＋
↓当a＝时，ab最大且最大值为.
规范解答
解　(1)对于C1：y＝x2－2x＋2，有y′＝2x－2， [1分]
对于C2：y＝－x2＋ax＋b，有y′＝－2x＋a， [2分]
设C1与C2的一个交点为(x0，y0)，
由题意知过交点(x0，y0)的两条切线互相垂直.∴(2x0－2)·(－2x0＋a)＝－1，即4x－2(a＋2)x0＋2a－1＝0 ①
又点(x0，y0)在C1与C2上，
故有⇒2x－(a＋2)x0＋2－b＝0 ②
由①②消去x0，可得a＋b＝. [7分]
(2)由(1)知：b＝－a，
∴ab＝a＝－2＋. [10分]
∴当a＝时，(ab)最大值＝. [12分]
点评　本题的切入点是：两曲线有交点(x0，y0)，交点处的切线互相垂直.通过审题路线图可以较为清晰地看到审题的思维过程.

方法与技巧
1.在对导数的概念进行理解时，特别要注意f′(x0)与(f(x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值，不一定为0；而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.
2.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.
失误与防范
1.利用导数定义求导数时，要注意到x与Δx的区别，这里的x是常量，Δx是变量.
2.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.
3.求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.
4.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.
§3.1　导数的概念及其运算
(时间：60分钟)
A组　专项基础训练题组
一、选择题
1.(2011·山东)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是 (　　)
　A.－9 B.－3 C.9 D.15
2.已知f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于 (　　)
A.e2 B.e C. D.ln 2
3.若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为 (　　)
A.4x－y－3＝0 B.x＋4y－5＝0
C.4x－y＋3＝0 D.x＋4y＋3＝0
二、填空题
4.设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′sin x＋cos x，则f′＝_______________.
5.已知函数f(x)，g(x)满足f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(x)＝1，则函数y＝的图象在x＝5处的切线方程为________________.
6.设点P是曲线y＝－x2－3x－3上的一个动点，则以P为切点的切线中，斜率取得最小值时的切线方程是______________.
三、解答题
7.已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限.
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程.
8.如右图所示，已知A(－1,2)为抛物线C：y＝2x2上
的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线
l2：x＝a (a<－1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D.
(1)求直线l1的方程；
(2)求△ABD的面积S1.
B组　专项能力提升题组
一、选择题
1.(2011·湖南)曲线y＝－在点M处的切线的斜率为 (　　)
A.－ B.
C.－ D.
2.(2011·大纲全国)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为 (　　)
A. B. C. D.1
3.已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线3x－y＋2＝0平行，若数列的前n项和为Sn，则S2 012的值为 (　　)
A. B. C. D.
二、填空题
4.设函数f(x)＝x3＋x2＋tan θ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围是______________.
5.已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，
则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是____________.
6.曲边梯形由曲线y＝x2＋1，y＝0，x＝1，x＝2所围成，
过曲线y＝x2＋1，x∈[1,2]上一点P作切线，使得此切
线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这
一点的坐标为__________.
三、解答题
7.设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.
答案
要点梳理
1.　
2.(1) 　 　
(2)(x0，f(x0))　切线的斜率
y－y0＝f′(x0)(x－x0)
3.
4.0　nxn－1　cos x　－sin x　axln a(a>0)　ex　(a>0，且a≠1)　
5.(1)f′(x)±g′(x)　(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
(3)
6.y′u·u′x　y对u　u对x
基础自测
1.3　2.2　3.－2　4.(1,0)　5.B
题型分类·深度剖析
例1　解　∵Δy＝－
＝
＝，
∴＝.
变式训练1　(1)－
(2)f′(x)＝－
例2　解　(1)y′＝(ex·ln x)′
＝exln x＋ex·＝ex(ln x＋).
(2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.
(3)先使用三角公式进行化简，得
y＝x－sin cos ＝x－sin x，
∴y′＝′＝x′－(sin x)′
＝1－cos x.
(4)先化简，y＝·－＋－1
＝－x＋x－，
∴y′＝－x－－x－
＝－.
变式训练2　(1)y′＝－x－＋3x2－2x－3sin x＋x－2cos x.
(2)y′＝3x2＋12x＋11
(3)y′＝cos x
(4)y′＝
(5)y′＝－sin x－cos x
例3　解　(1)设u＝2x－3，则y＝(2x－3)5由y＝u5与u＝2x－3复合而成，
∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(u5)′(2x－3)′
＝5u4·2＝10u4＝10(2x－3)4.
(2)设u＝3－x，则y＝由y＝u与u＝3－x复合而成.
∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(u)′(3－x)′
＝u－(－1)＝－u－
＝－＝.
(3)设y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋，
则y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cos v·2
＝4sin·cos
＝2sin.
(4)设y＝ln u，u＝2x＋5，则y′x＝y′u·u′x，
∴y′＝·(2x＋5)′＝.
变式训练3　解　(1)设u＝1＋sin x，
则y＝(1＋sin x)2，
由y＝u2与u＝1＋sin x复合而成.
∴y′＝f′(u)·u′＝2u·cos x
＝2(1＋sin x)·cos x.
(2)y′＝(ln)′
＝·()′
＝·(x2＋1)－·(x2＋1)′
＝.
(3)y′＝(xe1－cos x)′＝e1－cos x＋x(e1－cos x)′
＝e1－cos x＋x[e1－cos x·(1－cos x)′]
＝e1－cos x＋xe1－cos x·sin x
＝(1＋xsin x)e1－cos x.
(4)设u＝1－3x，y＝u－4.
则yx′＝yu′·ux′＝－4u－5·(－3)
＝.
(5)y′＝(x)′
＝x′·＋x()′
＝＋＝.
例4　解　(1)∵P(2,4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，
∴在点P(2,4)处的切线的斜率为：y′|x＝2＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为：y′|x＝x0＝x.
∴切线方程为y－＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋.
∵点P(2,4)在切线上，
∴4＝2x－x＋，
即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2，
故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为：
x＝1，x0＝±1.
切点为(－1,1)或，
∴切线方程为y－1＝x＋1或y－＝x－1，
即x－y＋2＝0或3x－3y＋2＝0.
变式训练4　解　∵y′＝2ax＋b，
∴抛物线在Q(2，－1)处的切线斜率为
k＝y′|x＝2＝4a＋b.
∴4a＋b＝1. ①
又∵P(1,1)、Q(2，－1)在抛物线上，
∴a＋b＋c＝1， ②
4a＋2b＋c＝－1. ③
联立①②③解方程组，得
∴实数a、b、c的值分别为3、－11、9.
课时规范训练
A组
1.C　2.B　3.A　4.－　
5.5x－16y＋3＝0　6.12x＋3y＋8＝0
7.解　(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，
由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4).
(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，
∴直线l的斜率为－.
∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，
∴直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，
即x＋4y＋17＝0.
8.解　(1)由条件知点A(－1,2)为直线l1与抛物线C的切点，
∵y′＝4x，∴直线l1的斜率k＝－4，
所以直线l1的方程为y－2＝－4(x＋1)，
即4x＋y＋2＝0.
(2)点A的坐标为(－1,2)，
由条件可求得点B的坐标为(a,2a2)，
点D的坐标为(a，－4a－2)，∴△ABD的面积为
S1＝×|2a2－(－4a－2)|×|－1－a|
＝|(a＋1)3|＝－(a＋1)3.
B组
1.B　2.A　3.B　4.
5.x－y－2＝0　6.
7.解　(1)方程7x－4y－12＝0可化为
y＝x－3.
当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，
于是　解得
故f(x)＝x－.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0).
令x＝0，得y＝－，
从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，
从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0).
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为
S＝|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除