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2019年江苏省南通市中考数学试卷

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2019年江苏省南通市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列选项中，比﹣2℃低的温度是（　　）
A．﹣3℃ B．﹣1℃ C．0℃ D．1℃
2．（3分）化简的结果是（　　）
A．4 B．2 C．3 D．2
3．（3分）下列计算，正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．2a2﹣a＝a C．a6÷a2＝a3 D．（a2）3＝a6
4．（3分）如图是一个几何体的三视图，该几何体是（　　）

A．球 B．圆锥 C．圆柱 D．棱柱
5．（3分）已知a，b满足方程组，则a+b的值为（　　）
A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
6．（3分）用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x+4）2＝﹣9 B．（x+4）2＝﹣7 C．（x+4）2＝25 D．（x+4）2＝7
7．（3分）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3（如图）．以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（　　）

A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
8．（3分）如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C＝70°，则∠AED度数为（　　）

A．110° B．125° C．135° D．140°
9．（3分）如图是王阿姨晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（　　）

A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m
B．线段CD的函数解析式为s＝32t+400（25≤t≤50）
C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段AB的函数解析式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）
10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝30°，△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜120°）得到△AB′C′，B′C′与BC，AC分别交于点D，E．设CD+DE＝x，△AEC′的面积为y，则y与x的函数图象大致（　　）

A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）计算：22﹣（﹣1）0＝　 　．
12．（3分）5G信号的传播速度为300 000 000m/s，将300 000 000用科学记数法表示为　 　．
13．（3分）分解因式：x3﹣x＝　 　．
14．（3分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF，若∠BAE＝25°，则∠ACF＝　 　度．

15．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有x个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为　 　．
16．（3分）已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为　 　cm．
17．（3分）如图，过点C（3，4）的直线y＝2x+b交x轴于点A，∠ABC＝90°，AB＝CB，曲线y＝（x＞0）过点B，将点A沿y轴正方向平移a个单位长度恰好落在该曲线上，则a的值为　 　．

18．（3分）如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）解不等式﹣x＞1，并在数轴上表示解集．
20．（8分）先化简，再求值：（m+）÷，其中m＝﹣2．
21．（8分）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD＝CA．连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？

22．（9分）第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，求取出的2个球中有1个白球、1个黄球的概率．
23．（8分）列方程解应用题：
中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格．
24．（10分）8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表（得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀）．

平均分
方差
中位数
众数
合格率
优秀率
一班
7.2
2.11
7
6
92.5%
20%
二班
6.85
4.28
8
8
85%
10%
根据图表信息，回答问题：
（1）用方差推断，　 　班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断，　 　班的阅读水平更好些；
（2）甲同学用平均分推断，一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，二班阅读水平更好些．你认为谁的推断比较科学合理，更客观些．为什么？
25．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．
（1）求⊙O的半径；
（2）点P为劣弧AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；
（3）在（2）的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．

26．（10分）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）．
（1）请写出该二次函数的三条性质；
（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，求a的取值范围．
27．（13分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4．E，F分别在AD，BC上，点A与点C关于EF所在的直线对称，P是边DC上的一动点．
（1）连接AF，CE，求证四边形AFCE是菱形；
（2）当△PEF的周长最小时，求的值；
（3）连接BP交EF于点M，当∠EMP＝45°时，求CP的长．

28．（13分）定义：若实数x，y满足x2＝2y+t，y2＝2x+t，且x≠y，t为常数，则称点M（x，y）为“线点”．例如，点（0，﹣2）和（﹣2，0）是“线点”．已知：在直角坐标系xOy中，点P（m，n）．
（1）P1（3，1）和P2（﹣3，1）两点中，点　 　是“线点”；
（2）若点P是“线点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围；
（3）若点Q（n，m）是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A，B，当|∠POQ﹣∠AOB|＝30°时，直接写出t的值．

2019年江苏省南通市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列选项中，比﹣2℃低的温度是（　　）
A．﹣3℃ B．﹣1℃ C．0℃ D．1℃
【解答】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知﹣3＜﹣2，
所以比﹣2℃低的温度是﹣3℃．
故选：A．
2．（3分）化简的结果是（　　）
A．4 B．2 C．3 D．2
【解答】解：＝＝2，
故选：B．
3．（3分）下列计算，正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．2a2﹣a＝a C．a6÷a2＝a3 D．（a2）3＝a6
【解答】解：∵a2•a3＝a5，
∴选项A不符合题意；

∵2a2﹣a≠a，
∴选项B不符合题意；

∵a6÷a2＝a4，
∴选项C不符合题意；

∵（a2）3＝a6，
∴选项D符合题意．
故选：D．
4．（3分）如图是一个几何体的三视图，该几何体是（　　）

A．球 B．圆锥 C．圆柱 D．棱柱
【解答】解：由于主视图和左视图为正方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆形可得为圆柱．
故选：C．
5．（3分）已知a，b满足方程组，则a+b的值为（　　）
A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
【解答】解：，
①+②得：5a+5b＝10，
则a+b＝2，
故选：A．
6．（3分）用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x+4）2＝﹣9 B．（x+4）2＝﹣7 C．（x+4）2＝25 D．（x+4）2＝7
【解答】解：方程x2+8x+9＝0，整理得：x2+8x＝﹣9，
配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7，
故选：D．
7．（3分）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3（如图）．以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（　　）

A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【解答】解：由勾股定理得，OB＝＝，
∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴该点位置大致在数轴上3和4之间．
故选：C．
8．（3分）如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C＝70°，则∠AED度数为（　　）

A．110° B．125° C．135° D．140°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C+∠CAB＝180°，
∵∠C＝70°，
∴∠CAB＝110°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠CBA＝55°，
∴∠AED＝∠C+∠CAE＝70°+55°＝125°，
故选：B．
9．（3分）如图是王阿姨晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（　　）

A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m
B．线段CD的函数解析式为s＝32t+400（25≤t≤50）
C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段AB的函数解析式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）
【解答】解：A、25min～50min，王阿姨步行的路程为2000﹣1200＝800m，故A没错；
B、设线段CD的函数解析式为s＝kt+b，
把（25，1200），（50，2000）代入得，
解得：，
∴线段CD的函数解析式为s＝32t+400（25≤t≤50），故B没错；
C、在A点的速度为＝105m/min，在B点的速度为＝＝45m/min，故C错误；
D、当t＝20时，由图象可得s＝1200m，将t＝20代入s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）得s＝1200，故D没错．
故选：C．
10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝30°，△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜120°）得到△AB′C′，B′C′与BC，AC分别交于点D，E．设CD+DE＝x，△AEC′的面积为y，则y与x的函数图象大致（　　）

A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转α，设AB′与BC交于点F，
则∠BAB′＝∠CAC′＝α，∠B＝∠C′＝30°，AB＝AC＝AC′，
∴△ABF≌△AC′E（AAS），
∴BF＝C′E，AE＝AF，
同理△CDE≌△B′DF（AAS），
∴B′D＝CD，
∴B′D+DE＝CD+ED＝x，
AB＝AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的高为1，等于△AEC′的高，
BC＝2＝B′C′，
y＝EC′×△AEC′的高＝（2）＝﹣x+，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）计算：22﹣（﹣1）0＝　3　．
【解答】解：原式＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
12．（3分）5G信号的传播速度为300 000 000m/s，将300 000 000用科学记数法表示为　3×108　．
【解答】解：将300 000 000用科学记数法表示为：3×108．
故答案为：3×108．
13．（3分）分解因式：x3﹣x＝　x（x+1）（x﹣1）　．
【解答】解：x3﹣x，
＝x（x2﹣1），
＝x（x+1）（x﹣1）．
故答案为：x（x+1）（x﹣1）．
14．（3分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF，若∠BAE＝25°，则∠ACF＝　70　度．

【解答】解：在Rt△ABE与Rt△CBF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．
∴∠BAE＝∠BCF＝25°；
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠ACF＝25°+45°＝70°；
故答案为：70．
15．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有x个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为　9x﹣11＝6x+16　．
【解答】解：设有x个人共同买鸡，根据题意得：
9x﹣11＝6x+16．
故答案为：9x﹣11＝6x+16．
16．（3分）已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为　5　cm．
【解答】解：设圆锥的母线长为Rcm，
圆锥的底面周长＝2π×2＝4π，
则×4π×R＝10π，
解得，R＝5（cm）
故答案为：5．
17．（3分）如图，过点C（3，4）的直线y＝2x+b交x轴于点A，∠ABC＝90°，AB＝CB，曲线y＝（x＞0）过点B，将点A沿y轴正方向平移a个单位长度恰好落在该曲线上，则a的值为　4　．

【解答】解：作CD⊥x轴于D，BF⊥x轴于F，过B作BE⊥CD于E，
∵过点C（3，4）的直线y＝2x+b交x轴于点A，
∴4＝2×3+b，解得b＝﹣2，
∴直线为y＝2x﹣2，
令y＝0，则求得x＝1，
∴A（1，0），
∵BF⊥x轴于F，过B作BE⊥CD于E，
∴BE∥x轴，
∴∠ABE＝∠BAF，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠EBC＝90°，
∵∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠EBC＝∠ABF，
在△EBC和△FBA中

∴△EBC≌△FBA（AAS），
∴CE＝AF，BE＝BF，
设B（m，），
∵4﹣＝m﹣1，m﹣3＝，
∴4﹣（m﹣3）＝m﹣1，
解得m＝4，k＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝，
把x＝1代入得y＝4，
∴a＝4﹣0＝4，
∴a的值为4．
故答案为4．

18．（3分）如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于　3　．

【解答】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，

∵AB∥CD
∴∠EDP＝∠DAB＝60°，
∴sin∠EDP＝
∴EP＝PD
∴PB+PD＝PB+PE
∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，
∵sin∠A＝＝
∴BE＝3
故答案为3
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）解不等式﹣x＞1，并在数轴上表示解集．
【解答】解：4x﹣1﹣3x＞3，
4x﹣3x＞3+1，
x＞4，
将不等式的解集表示在数轴上如下：

20．（8分）先化简，再求值：（m+）÷，其中m＝﹣2．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝m2+2m，
当m＝﹣2时，
原式＝m（m+2）
＝（﹣2）（﹣2+2）
＝2﹣2
21．（8分）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD＝CA．连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？

【解答】解：量出DE的长就等于AB的长，理由如下：
在△ABC和△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE．
22．（9分）第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，求取出的2个球中有1个白球、1个黄球的概率．
【解答】解：画树状图为：

共有6种等可能的结果数，其中取出的2个球中有1个白球、1个黄球的结果数为3，
所以取出的2个球中有1个白球、1个黄球的概率＝＝．
23．（8分）列方程解应用题：
中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格．
【解答】解：设每套《三国演义》的价格为x元，则每套《西游记》的价格为（x+40）元，
依题意，得：＝2×，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是所列分式方程的解，且符合题意．
答：每套《三国演义》的价格为80元．
24．（10分）8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表（得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀）．

平均分
方差
中位数
众数
合格率
优秀率
一班
7.2
2.11
7
6
92.5%
20%
二班
6.85
4.28
8
8
85%
10%
根据图表信息，回答问题：
（1）用方差推断，　二　班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断，　一　班的阅读水平更好些；
（2）甲同学用平均分推断，一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，二班阅读水平更好些．你认为谁的推断比较科学合理，更客观些．为什么？
【解答】解：（1）从方差看，二班成绩波动较大，从众数、中位数上看，一班的成绩较好，
故答案为：二，一．
（2）乙同学的说法较合理，众数和中位数是反映一组数据集中发展趋势和集中水平，由于二班的众数、中位数都比一班的要好．
25．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．
（1）求⊙O的半径；
（2）点P为劣弧AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；
（3）在（2）的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．

【解答】解：（1）作OH⊥AB于H．

在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，
∴AB＝2BC＝2，
∵OH⊥AB，
∴AH＝HB＝1，
∴OA＝AH÷cos30°＝．

（2）如图2中，连接OP，PA．设OP交AB于H．

∵＝，
∴OP⊥AB，
∴∠AHO＝90°，
∵∠OAH＝30°，
∴∠AOP＝60°，
∵OA＝OP，
∴△AOP是等边三角形，
∵PQ⊥OA，
∴OQ＝QA＝OA＝．

（3）连接PC．
在Rt△ABC中，AC＝BC＝，
∵AQ＝QO＝AO＝．
∴QC＝AC﹣AQ＝﹣＝，
∵△AOP是等边三角形，PQ⊥OA，
∴PQ＝1，
∴tan∠ACP＝＝＝．
26．（10分）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）．
（1）请写出该二次函数的三条性质；
（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣4x+3a+2＝（x﹣2）2+3a﹣2，
∴该二次函数开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，3a﹣2），
其性质有：①开口向上，②有最小值3a﹣2，③对称轴为x＝2．
（2）∵二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，
∴x2﹣4x+3a+2＝2x﹣1，
整理为：x2﹣6x+3a+3＝0，
∴△＝36﹣4（3a+3）＞0，
解得a＜2，
把x＝4代入y＝2x﹣1，解得y＝2×4﹣1＝7，
把（4，7）代入y＝x2﹣4x+3a+2得7＝16﹣16+3a+2，解得a＝，
故该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，a的取值为≤a＜2．
27．（13分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4．E，F分别在AD，BC上，点A与点C关于EF所在的直线对称，P是边DC上的一动点．
（1）连接AF，CE，求证四边形AFCE是菱形；
（2）当△PEF的周长最小时，求的值；
（3）连接BP交EF于点M，当∠EMP＝45°时，求CP的长．

【解答】证明：（1）如图：连接AF，CE，AC交EF于点O

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC
∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，
∵点A与点C关于EF所在的直线对称
∴AO＝CO，AC⊥EF
∵∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，AO＝CO
∴△AEO≌△CFO（AAS）
∴AE＝CF，且AE∥CF
∴四边形AFCE是平行四边形，且AC⊥EF
∴四边形AFCE是菱形；
（2）如图，作点F关于CD的对称点H，连接EH，交CD于点P，此时△EFP的周长最小，

∵四边形AFCE是菱形
∴AF＝CF＝CE＝AE，
∵AF2＝BF2+AB2，
∴AF2＝（4﹣AF）2+4，
∴AF＝
∴AE＝＝CF
∴DE＝
∵点F，点H关于CD对称
∴CF＝CH＝
∵AD∥BC
∴＝
（3）如图，延长EF，延长AB交于点N，过点E作EH⊥BC于H，交BP于点G，过点B作BO⊥FN于点O，

由（2）可知，AE＝CF＝，BF＝DE＝
∵EH⊥BC，∠A＝∠ABC＝90°
∴四边形ABHE是矩形
∴AB＝EH＝2，BH＝AE＝
∴FH＝1
∴EF＝＝，
∵AD∥BC
∴△BFN∽△AEN
∴
∴
∴BN＝3，NF＝
∴AN＝5，NE＝
∵∠N＝∠N，∠BON＝∠A＝90°
∴△NBO∽△NEA
∴
∴
∴BO＝，NO＝
∵∠EMP＝∠BMO＝45°，BO⊥EN
∴∠OBM＝∠BMO＝45°
∴BO＝MO＝
∴ME＝EN﹣NO﹣MO＝
∵AB∥EH
∴△BNM∽△GEM
∴
∴
∴EG＝
∴GH＝EH﹣EG＝
∵EH∥CD
∴△BGH∽△BPC
∴
∴
∴CP＝
28．（13分）定义：若实数x，y满足x2＝2y+t，y2＝2x+t，且x≠y，t为常数，则称点M（x，y）为“线点”．例如，点（0，﹣2）和（﹣2，0）是“线点”．已知：在直角坐标系xOy中，点P（m，n）．
（1）P1（3，1）和P2（﹣3，1）两点中，点　P2　是“线点”；
（2）若点P是“线点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围；
（3）若点Q（n，m）是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A，B，当|∠POQ﹣∠AOB|＝30°时，直接写出t的值．
【解答】解：（1）∵当M点（x，y），若x，y满足x2﹣2y＝t，y2﹣2x＝t且x≠y，t为常数，则称点M为“线点”，
又∵P1（3，1），则32﹣2×1＝7，（1）2﹣2×3＝﹣5，7≠﹣5，
∴点P1不是线点；
∵P2（﹣3，1），则（﹣3）2﹣2×1＝7，12﹣2×（﹣3）＝7，7＝7，
∴点P2是线点，
故答案为：P2；
（2）∵点P（m，n）为“线点”，
则m2﹣2n＝t，n2﹣2m＝t，
∴m2﹣2n﹣n2+2m＝0，m2﹣2n+n2﹣2m＝2t，
∴（m﹣n）（m+n+2）＝0，
∵m≠n，
∴m+n+2＝0，
∴m+n＝﹣2，
∵m2﹣2n+n2﹣2m＝2t，
∴（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）＝2t，
即：（﹣2）2﹣2mn+2×2＝2t，
∴mn＝4﹣t，
∵m≠n，
∴（m﹣n）2＞0，
∴m2﹣2mn+n2＞0，
∴（m+n）2﹣4mn＞0，
∴（﹣2）2﹣4mn＞0，
∴mn＜1，
∵mn＝4﹣t，
∴t＞3；

（3）设PQ直线的解析式为：y＝kx+b，
则，
解得：k＝﹣1，
∵直线PQ分别交x轴，y轴于点A、B，
∴∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵|∠AOB﹣∠POQ|＝30°，
∴∠POQ＝120°或60°，
∵P（m，n），Q（n，m），
∴P、Q两点关于y＝x对称，
①若∠POQ＝120°时，如图1所示：
作PC⊥x轴于C，QD⊥y轴于D，作直线MN⊥AB．

∵P、Q两点关于y＝x对称，∴∠PON＝∠QON＝∠POQ＝60°，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AON＝BON＝45°，
∴∠POC＝∠QOD＝15°，
在OC上截取OT＝PT，则∠TPO＝∠TOP＝15°，
∴∠CTP＝30°，
∴PT＝2PC＝2n，TC＝n，
∴﹣m＝n+2n，
由（2）知，m+n＝﹣2，
解得：m＝﹣1﹣，n＝﹣1，
由（2）知：mn＝4﹣t，t＞3，
∴（﹣1﹣）（﹣1+）＝4﹣t，
解得：t＝6，
②若∠POQ＝60°时，如图2所示，
作PD⊥x轴于D，QC⊥y轴于C，作直线MN⊥AB．

∵P、Q两点关于y＝x对称，
∴∠PON＝∠QON＝∠POQ＝30°，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AON＝BON＝45°，
∴∠POD＝∠QOC＝15°，
在OD上截取OT＝PT，则∠TPO＝∠TOP＝15°，
∴∠DTP＝30°，
∴PT＝2PD＝﹣2n，TD＝﹣n，
∴﹣m＝﹣n﹣2n，
由（2）知，m+n＝﹣2，
解得m＝﹣1﹣，n＝﹣1+，
由（2）知：mn＝4﹣t，t＞3，
∴（﹣1﹣）（﹣1+）＝4﹣t，
解得：t＝，
综上所述，t的值为：6或．

日期：2020/2/13 19:10:52；用户：NJ新城初级中学09；邮箱：njxczx09@；学号：10404650
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