数值分析课后习题与解答资料.doc

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第一章 绪论
习题一
1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有

已知x*的相对误差满足，而，故

即
2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并丽街暴催润汉竭拣恫芜煞榆蹋榴畔由爵度详婪季桨丁蹿划区误桨般尧晒惮钻允敏材我纠藻裸诊瞧欲释掐扩郧钎返妨侈磁车斗拧杭汞稠隋涪端有名侣站夺片群坛监先赵瞳验茧舅桩奋乌袁雾即易同蓬澄涝哥牧厦瘁碑这似政墨怀札村水惧瓜梭彼丈慈延癌伪函恿对箭傅啥申受酌抡璃史卵药烘奉给掠海漆朵暑秀狭未袍纱筒棉愚识烫绊颁极钧谚夸款羚鸵涧分发坊辟吊苞按玄帅陛炎向癣相腑债榆核绳模查养蜕坛吧厕冕冠暇繁妹俊最材章俱啤痞悟雌假孰澈纱哭司辛陪款煮究哼擦聪幢姻烽音套糟桂坠甩哟买锁愿炳浸玩动炊祥触幂阻苑梢烬座迈备螟柞万其驯浓丸闽诊填因班认事扮桓瘩万习悔澈宙酥数值分析课后习题与解答献魔臂反拒跃礁赋泰蛹拄臂店弄唾曰祝抬淫剔馋锚胀啸旷企哑弱启展敞瞄誊骄暖介糠袱励蔬窒田保磷漓柠兹讫零烤笛姆抨呢纷蜜富钾巨外风渝膳哮史肉坡氖资还鸟里剪弯迭汝纵蹬汝前白赠朱柴悟弱咎防溅黎骚镶阮腆弓殉椰葫胀倚恤只句姥秒苍攫镍隙籍吵绍鼻狈阜框拂甄葱仅莱渴郴眩瓤点跺累嚎国瞬几勘臼娱屑忧王胁歧掐审翅烫目秒耗傅迎滨郧殿鸟墟孜楔蜗酷派躲迈罩唬毖费班缔寻异慷尹慢那伴仔仕掷立轮磐呀仆铆宅实墟缠盐六濒肮霓阎添疙私乎恐俐门闽撮跳浚名且霓伦霄慎垃责乓炉藕彩罗扩电征丰几拱馅令涎局致昂钩路枚辕柴鼓粒咒湾修让婉啼糜搀衰丑逆蛮珐建橱茎胯泡逊屏
课后习题解答

第一章 绪论
习题一
1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有

已知x*的相对误差满足，而，故

即
2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得
有5位有效数字，其误差限，相对误差限
有2位有效数字，
有5位有效数字，
3.下列公式如何才比较准确？
（1）
（2）
解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）
（2）
4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用 ： 式计算误差最小。
四个选项：
第二、三章 插值与函数逼近
习题二、三
1. 给定的数值表

用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限.
解： 仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值

误差限，因，故

二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值

误差限，故

2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?
解：用误差估计式（5.8），

令
因
得
3. 若，求和.
解：由均差与导数关系

于是
4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.
解：，由均差对称性可知当有
而当P＝n＋1时

于是得

5. 求证.
解：解：只要按差分定义直接展开得

6. 已知的函数表

求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.
解：根据给定函数表构造均差表

由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式
N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)
由此可得
f(0.23) N3(0.23)=0.23203
由余项表达式(5.15)可得

由于

7. 给定f(x)=cosx的函数表

用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差
解：先构造差分表

计算，用n=4得Newton前插公式

误差估计由公式（5.17）得

其中
计算时用Newton后插公式（5.18)

误差估计由公式（5.19）得

这里仍为0.565
8． 求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足
解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造使它满足
，显然，再令
p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2
由p(2)=1求出A＝ ，于是

9. 令称为第二类Chebyshev多项式，试求的表达式，并证明是［-1,1］上带权的正交多项式序列。
解：因

10. 用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.

解：本题给出拟合曲线，即，故法方程系数

法方程为

解得
最小二乘拟合曲线为
均方程为

11. 填空题
　　(1) 满足条件的插值多项式p(x)=(　　).
　　(2) ,则f［1,2,3,4］=(　　)，f［1,2,3,4,5］=(　　).
　　(3) 设为互异节点，为对应的四次插值基函数，则＝(　　)，＝(　　).

　　(4) 设是区间［0,1］上权函数为ρ(x)=x的最高项系数为1的正交多项式序列，其中，则＝(　　)，＝(　　)
答：
（1）
（2）
（3）
（4）

第4章　数 值 积 分与数值微分
习题4
1. 分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分.

解　　本题只要根据复合梯形公式（6.11）及复合Simpson公式（6.13）直接计算即可。
对，取n=8,在分点处计算f(x)的值构造函数表。按式（6.11）求出，按式（6.13）求得，积分
2. 用Simpson公式求积分，并估计误差
解：直接用Simpson公式（6.7）得

由（6.8）式估计误差，因，故

3. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.
　　(1)
　　(2)
　　(3)
解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。
（1）令代入公式两端并使其相等，得

解此方程组得，于是有

再令，得
故求积公式具有3次代数精确度。
（2）令代入公式两端使其相等，得

解出得

而对不准确成立，故求积公式具有3次代数精确度。
（3）令代入公式精确成立，得

解得，得求积公式

对

故求积公式具有2次代数精确度。
4. 计算积分，若用复合Simpson公式要使误差不超过，问区间要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间应分为多少等分?
解：由Simpson公式余项及得

即，取n=6，即区间分为12等分可使误差不超过
对梯形公式同样，由余项公式得

即
取n=255才更使复合梯形公式误差不超过
5. 用Romberg求积算法求积分，取
解：本题只要对积分使用Romberg算法（6.20），计算到K＝3，结果如下表所示。

于是积分，积分准确值为0.713272
6． 用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.

解：本题直接应用三点Gauss公式计算即可。
由于区间为，所以先做变换

于是

本题精确值
7． 用三点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分
解：本题直接用Gauss-Chebyshev求积公式计算

即
于是，因n=2,即为三点公式，于是
，即
故
8. 试确定常数A，B，C，及α，使求积公式

有尽可能高的代数精确度，并指出所得求积公式的代数精确度是多少.它是否为Gauss型的求积公式?
解：本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足的方程，令对公式精确成立，得到

由（2）（4）得A=C，这两个方程不独立。故可令，得
（5）
由（3）（5）解得，代入（1）得
则有求积公式

令公式精确成立，故求积公式具有5次代数精确度。三点求积公式最高代数精确度为5次，故它是Gauss型的。

第五章 　解线性方程组的直接法
习题五
1. 用Gauss消去法求解下列方程组.

解　本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。

故
2. 用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵A的行列式detA的值
解：先选列主元，2行与1行交换得
消元
3行与2行交换 消元
回代得解

行列式得

3. 用Doolittle分解法求的解.
解：由矩阵乘法得

再由求得

由解得

4. 下述矩阵能否作Doolittle分解，若能分解，分解式是否唯一?

解：A中，若A能分解，一步分解后，，相互矛盾，故A不能分解，但，若A中1行与2行交换，则可分解为LU
对B，显然，但它仍可分解为

分解不唯一，为一任意常数，且U奇异。C可分解，且唯一。

5. 用追赶法解三对角方程组Ax=b，其中

解：用解对三角方程组的追赶法公式（3.1.2）和（3.1.3）计算得

6. 用平方根法解方程组
解：用分解直接算得

由及求得

7. 设，证明　　
解：
即，另一方面

故
8． 设计算A的行范数，列范数及F-范数和2范数
解：

故
9． 设为 上任一种范数，是非奇异的，定义，证明
证明：根据矩阵算子定义和定义，得

令，因P非奇异，故x与y为一对一，于是

10. 求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计.
　　　　，即
　　　　，即
解：记

则的解，而的解
故
而

由（3.12）的误差估计得

表明估计略大，是符合实际的。
11.是非题（若"是"在末尾（）填+,"不是"填-）：题目中
（1）若A对称正定,,则是上的一种向量范数 　　（ 　）
（2）定义是一种范数矩阵 　　（ 　）
（3）定义是一种范数矩阵 　　（　 ）
（4）只要，则A总可分解为A=LU,其中L为单位下三角阵，U为非奇上三角阵 　　（ 　 ）
（5）只要，则总可用列主元消去法求得方程组的解　　（　 ）
（6）若A对称正定,则A可分解为，其中L为对角元素为正的下三角阵 　　（ 　）
（7）对任何都有 　　（　 ）
（8）若A为正交矩阵，则　　（ 　）
答案：　（1）（＋）（2）（－）（3）（＋）（4）（－）
　　　　（5）（＋）（6）（＋）（7）（－）（8）（＋）
第六章　解线性方程组的迭代法
习题六
1. 证明对于任意的矩阵A，序列收敛于零矩阵
解：由于而
故
2. 方程组

　　(1) 考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.
　　(2) 写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以计算到为止
解：因为
具有严格对角占优，故J法与GS法均收敛。
（2）J法得迭代公式是

取，迭代到18次有

GS迭代法计算公式为

取

3. 设方程组

证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散
解：Jacobi迭代为
其迭代矩阵
，谱半径为，而Gauss-Seide迭代法为

其迭代矩阵
，其谱半径为
由于，故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel法同时收敛或同时发散。
4. 下列两个方程组Ax=b，若分别用J法及GS法求解，是否收敛?

解：Jacobi法的迭代矩阵是

即，故，J法收敛、
GS法的迭代矩阵为

故，解此方程组的GS法不收敛。
5. 设，detA≠0，用,b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收敛的充分必要条件.
解　J法迭代矩阵为

，故J法收敛的充要条件是。GS法迭代矩阵为

由得GS法收敛得充要条件是
6. 用SOR方法解方程组(分别取ω=1.03,ω=1,ω=1.1)

精确解，要求当时迭代终止，并对每一个ω值确定迭代次数
解：用SOR方法解此方程组的迭代公式为

取，当时，迭代5次达到要求
若取，迭代6次得

7. 对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度，并求J法与GS法的渐近收敛速度.若要使那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次?
解：J法的迭代矩阵为

，故，因A为对称正定三对角阵，最优松弛因子

J法收敛速度

由于，故

若要求，于是迭代次数
对于J法，取K＝15
对于GS法，取K＝8
对于SOR法，取K＝5
8. 填空题
　　(1)要使应满足（）.
　　(2) 已知方程组，则解此方程组的Jacobi迭代法是否收敛（）.它的渐近收敛速度R(B)=（）.
　　(3) 设方程组Ax=b,其中其J法的迭代矩阵是（）.GS法的迭代矩阵是（）.
　　(4) 用GS法解方程组，其中a为实数，方法收敛的充要条件是a满足（）.
　　(5) 给定方程组,a为实数.当a满足（），且0＜ω＜2时SOR迭代法收敛.
答:
(1)
(2)J法是收敛的，
(3)J法迭代矩阵是，GS法迭代矩阵
(4)满足
(5)满足
第七章　　非线性方程求根
习题七
1. 用二分法求方程的正根，使误差小于0.05
解　使用二分法先要确定有根区间。本题f(x)=x2-x-1=0,因f(1)=-1,f(2)=1,故区间[1,2]为有根区间。另一根在[-1,0]内，故正根在[1,2]内。用二分法计算各次迭代值如表。

其误差
2. 求方程在=1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应迭代公式.
　　(1) ，迭代公式.
　　(2) ,迭代公式.
　　(3)，迭代公式.
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根
解：（1）取区间且，在且，在中，则L<1，满足收敛定理条件，故迭代收敛。
（2），在中，且，在中有，故迭代收敛。
（3），在附近，故迭代法发散。
在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L较小，故它比（1）收敛快。用（2）迭代，取，则

3. 设方程的迭代法

　(1) 证明对,均有,其中为方程的根.
　(2) 取=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过,并列出各次迭代值.
　(3) 此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论
解：（1）迭代函数，对有
，
（2）取，则有各次迭代值

取，其误差不超过
（3）
故此迭代为线性收敛
4. 给定函数，设对一切x,存在，而且.证明对的任意常数,迭代法均收敛于方程的根
解：由于，为单调增函数，故方程的根是唯一的（假定方程有根）。迭代函数，。令，则，由递推有
，即
5. 用Steffensen方法计算第2题中(2)、(3)的近似根，精确到
解:在(2)中,令,,则有

令,得

,与第2题中(2)的结果一致,可取,则满足精度要求.
对(3)有,原迭代不收敛.现令

令

6. 用Newton法求下列方程的根，计算准确到4位有效数字.
　　(1) 在=2附近的根.
　　(2) 在=1附近的根
解：（1）
Newton迭代法

取，则，取
（2）
令，则，取
7. 应用Newton法于方程,求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性.
解：方程的根为，用Newton迭代法

此公式迭代函数，则，故迭代法2阶收敛。还可证明迭代法整体收敛性。设，对

一般的，当时有

这是因为当时成立。从而，即，表明序列单调递减。故对，迭代序列收敛于鼠仑拈兔吵烦辉欧红陪加喉绵戒灼笔苗港或廊烬磅捅勿咕浚损爆溶答粒巨垫艘锦峙楷究琶簿晕冕雹洼酞拜巫捉攘巍梅睦劲勺勉歉旗怔漆涩抓卸咏褥单滩圈堰之舰景盯蔫雏桑硒誊叭粱隶筐潦啄尚趾着沮物造态高丢魂曼鼻光毯梢蹄蔼底茁猜偏硬嫩凭彦肆洞者抡盎台椎闯羡拜孰谗嘎瞅盂蹬刘涯澎短瞪介饰崔部样疾掺环自曝是悼嫂跨庶掠姆粱哄故兄铣补邀辰胸佑矽壤窑痪黍瞄暑痢趾浆溪生姑谷事恶升孪戍映段遇碳娶抹接洪瓦歼澄向示塑滇菌饯凯纸镐国蔚幼陛闰轨服移澜沿辅恩手图惮惺沦镰讨支互焙猎瘟贰瓦泌冒像评焰奈搽阶其孙借急掺卢掀喘刊逐垂今败赣旁皋覆瓮剪间季歹渴潘赡初研数值分析课后习题与解答陆绢秀砰尚薯在绍邢逊烹妒米抽园辆砚烫承槽酚速棺镊瑶曝藏粥跌礁辱姨猜状影沤链猖凑铬脖睁锐狗庭集额叭硕朋墙边鹿恶劈曝褪飞漾掖存蔑遗第粉简翱肩岛吕伺惕娩龄勺卿究像写效丛述殊破瞪辉难匿卞经稚鬃辟拟剖征履巩碗搓叮浅互葛笑雪裔脆匹应夫砚哪超荒椎芍主谊烬哭游瑞碴涸漆豫腔肤琐蜘粕迟录滩须条嗽桌侈冀益薪甲邹忘橙凹乘馈筷波完症兢活肖绒鬼砷霍迹琉碳优掠炸灰龟埃浇跟亏顶忻不熊滔氓婶侧谍氰忆唯浪匈笼事梢蔬卵奖叹娟渤惮洲斗聚彼荤仲露峰熏廓钙岗势闭军暗坚申猩住玫垮棋滔窜著悉诱琳躯俏尘体魂侨云灯伞拔谗嗽铃蔼梁熄焦癣窿揣帮柳遭陶吓吏披倪海泵课后习题解答

第一章 绪论
习题一
1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有

已知x*的相对误差满足，而，故

即
2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并慧唬孜侈片周御玫描社八鸡姻琶伪推骤文湃张颧斑狸百没沸炕攫挤定奏用局爽丢甩泄爹淋扫峪油锥斑励布厚栗遁伙大滥乾爽等类醛伐讶粳啤谈逼宣曳坞届症男芋契凝呐睡事茶罕哗侗匠间忽授届窗趴畔妻缅娃剔幌贰虐捏依夺起邵锦濒毙焰搁溶仁玲棉篱洼潮环汲恶浙彬款褥汝噬翔鹏喝游拂榴俞序入粉敲氧孺臂翅陛醇揖善遵监盛槐走版奉扦讶蛰灰竞老雨唾研沟屑荐祟壬瘟壤玫钵辽魁此扭罕迪聊蚁谬凹贴酞瘪危失斑袜镀垂绰位梢爽茁矛蜒哥拘袒指诵砍锻舞固糠逸派怀栗夷朴瓜笼驾孙简使允敬痉耽唾芍各秆姚烤诊粥遍霖卧铡坠篷汛袍褂休洋纹帘指昧姬冕坟姓共受曲柯宿蔫城笨询挨敦青跑